(sin x – cos x) / (sin x + cos x) упростите выражение

DWQA Questions › (sin x – cos x) / (sin x + cos x) упростите выражение

0 +1 -1

Asya Админ. спросил 7 лет назад

Здравствуйте!
Задача.
Упростите выражение (sin x – cos x) / (sin x + cos x)
Очень нужна Ваша помощь!
Спасибо!

1 ответ

0 +1 -1

Asix Админ. ответил 7 лет назад

Задача.
Упростите выражение (sin x — cos x) / (sin x + cos x)

Решение.
Подобные выражения, в которых в числителе и знаменателе стоят сопряженные выражения, решаются умножением дроби на числитель.
Сопряженное выражение — это выражение, содержащее одинаковые члены, между которыми стоят разные знаки (плюс и минус).
Итак, данное выражение нужно умножить на сопряженное к знаменателю, то есть на (sin x — cos x). Получим:

$\frac{{\sin x\ }-{\cos x\ }}{{\sin x\ }+{\cos x\ }}=\frac{\left({\sin x\ }-{\cos x\ }\right)\left({\sin x\ }-{\cos x\ }\right)}{\left({\sin x\ }+{\cos x\ }\right)\left({\sin x\ }-{\cos x\ }\right)}=$

В знаменателе воспользуемся формулой сокращенного умножения — формулой разницы квадратов, а в числителе получим квадрат разницы:

$=\frac{{\left({\sin x\ }-{\cos x\ }\right)}^2}{{{\sin }^2 x\ }-{{\cos }^2 x\ }}=$

В числителе раскроем скобки по формуле сокращенного умножения — формуле квадрата разницы:

$=\frac{{{\sin }^2 x\ }-2{\sin x\ }{\cos x\ }+{{\cos }^2 x\ }}{{{\sin }^2 x\ }-{{\cos }^2 x\ }}=$

В числителе получили сумму квадратов синуса и косинуса, которая по основному тригонометрическому тождеству равна 1:

$=\frac{1-2{\sin x\ }{\cos x\ }}{{{\sin }^2 x\ }-{{\cos }^2 x\ }}=$

Это же тождество применим и к знаменателю, выразив квадрат косинуса через разность единицы и квадрата синуса:

$=\frac{1-2{\sin x\ }{\cos x\ }}{{{\sin }^2 x\ }-\left(1-{{\sin }^2 x\ }\right)}=$

Раскроем скобки в знаменателе и приведем подобные слагаемые, после чего получим:

$=\frac{1-2{\sin x\ }{\cos x\ }}{2{{\sin }^2 x\ }-1}=$

Также в числителе можно свернуть произведение по формуле синуса двойного аргумента:

$=\frac{1-{\sin 2x\ }}{2{{\sin }^2 x\ }-1}$

Выполненными преобразованиями мы привели дробь к одной тригонометрической функции — функции синус.

Ответ. $\frac{1-{\sin 2x\ }}{2{{\sin }^2 x\ }-1}$ .

(sin x – cos x) / (sin x + cos x) упростите выражение

Пожалуйста, зарегистрируйтесь или войдите, чтобы добавить ответ.