sin 4x

0 +1 -1

Asya Админ. спросил 7 лет назад

Здравствуйте!
Как можно разложить sin 4x? При решении тригонометрических уравнений встречается. Подскажите – какие есть варианты?
Спасибо!

1 ответ

0 +1 -1

Asix Админ. ответил 7 лет назад

Сначала нужно проанализировать тригонометрическое выражение, принимая во внимание какие тригонометрические формулы есть в запасе.
Видим, что имеется синус от четного аргумента, соответственно, есть вариант использовать формулу для двойного аргумента этой функции.
Рассмотрим один из вариантов.
Можно пойти путем выделения двойного угла в этом выражении. То есть выделим множитель 2 из аргумента 4*х. Теперь можно использовать формулу для синуса 2-ого аргумента. В нашем случае аргументом будет 2*х, а двойным аргументом 4*х. Далее еще раз применим эту же формулу, но уже аргументом будет х, а двойным аргументом будет 2*х:

$=2\cdot \left(2\cdot {\sin x\ }\cdot {\cos x\ }\right)\cdot {\cos 2x\ }=$

Для косинуса 2х также применим формулу двойного аргумента, что позволит перейти к аргументу х под знаком всех тригонометрических функций:

$=4\cdot {\sin x\ }\cdot {\cos x\ }\cdot \left({{\cos }^2 x\ }-{{\sin }^2 x\ }\right)=$

Раскроем скобки (более математическим языком — применим дистрибутивный (или распределительный) закон):

$=4\cdot {\sin x\ }\cdot {{\cos }^3 x\ }-4\cdot {{\sin }^3 x\ }\cdot {\cos x\ }.$

Таким образом, в результате разложения получили следующий результат:

${\sin 4x\ }=4\cdot {\sin x\ }\cdot {{\cos }^3 x\ }-4\cdot {{\sin }^3 x\ }\cdot {\cos x\ }.$

А вообще при разложении любых выражений лучше видеть цель, которой нужно достичь. Например, если целью является перейти от аргумента 4х к аргументу х, то этот способ наиболее подходящий.
А если неважно какими будут аргументы, но степени (тем более кубы, как в данном примере) нежелательны, то можно продолжить разложение и применить еще формулы для косинуса в кубе и синуса в кубе. В таком случае в разложении кубов не будет, но появится аргумент 3*х.

sin 4x

Пожалуйста, зарегистрируйтесь или войдите, чтобы добавить ответ.