sin (2a) / (1 + cos (2a))

DWQA Questions › sin (2a) / (1 + cos (2a))

0 +1 -1

Asya Админ. спросил 6 лет назад

Здравствуйте!
Помогите упростить выражение:
sin (2a) / ((1+cos (2a)).
Спасибо!

1 ответ

0 +1 -1

Asix Админ. ответил 6 лет назад

Задание.
Упростить выражение:
sin (2a) / ((1+cos (2a)).

Решение.
Запишем выражение:

$\frac{{\sin 2a\ }}{1+{\cos 2a\ }}=$

В числителе используем тригонометрическую формулу синуса двойного угла:

$=\frac{{{\rm 2sin} a\ }{\cos a\ }}{1+{\cos 2a\ }}=$

Единицу в знаменателе распишем по основному тригонометрическому тождеству:

$=\frac{{{\rm 2sin} a\ }{\cos a\ }}{{{\sin }^2 x\ }+{{\cos }^2 x\ }+{\cos 2a\ }}=$

Теперь становится очевидным, что к косинусу 2а нужно применить соответствующую формулу через разность квадратов косинуса и синуса. Запишем выражение, которое получится в результате подстановки, и выполним несложные преобразования в знаменателе дроби:

$=\frac{{{\rm 2sin} a\ }{\cos a\ }}{{{\sin }^2 x\ }+{{\cos }^2 x\ }+{{\cos }^2 a\ }-{{\sin }^2 a\ }}=\frac{{{\rm 2sin} a\ }{\cos a\ }}{2{{\cos }^2 x\ }}=$

Выполним сокращение числителя и знаменателя на 2 косинуса а:

$=\frac{{\sin a\ }}{{\cos a\ }}=$

В результате преобразований получили отношение синуса на косинус, которое также можно заменить другой тригонометрической функцией, а именно тангенсом:

$={\rm tg}\ a$

Таким образом, из достаточно непростого выражения получили всего лишь одну тригонометрическую функцию — тангенс.

Ответ. tg a.

Как видите, при упрощении выражения были использованы достаточно простые тригонометрические тождества. Правильный выбор нужно было сделать лишь при выборе формулы, которую удобнее было бы использовать для косинуса двойного угла.

sin (2a) / (1 + cos (2a))

Пожалуйста, зарегистрируйтесь или войдите, чтобы добавить ответ.