Постройте график функции y=2x^4-x^2+1

DWQA Questions › Постройте график функции y=2x^4-x^2+1

0 +1 -1

Asya Админ. спросил 6 лет назад

Здравствуйте!
В задании сказано:
«Постройте график функции y = 2x^4 – x^2 + 1».
Помогите, пожалуйста, выполнить. Очень нужно подробное объяснение!
Спасибо!

1 ответ

0 +1 -1

Asix Админ. ответил 6 лет назад

Задание.
Постройте график функции y = 2x^4 — x^2 + 1.

Решение.
Проведем анализ функции.
Функция будет существовать для любых значений переменной х, то есть никаких ограничений по оси Ох нет.
Проверим на четность или нечетность:

$y\left(-x\right)=2{\cdot \left(-x\right)}^4-{\left(-x\right)}^2+1=2{\cdot x}^4-x^2+1=y\left(x\right)$

То есть функция четная, а значит, симметрична относительно оси Оу.
Найдем промежутки возрастания и убывания функции.
Для этого найдем производную функции:

$y'=8{\cdot x}^3-2\cdot x$

Приравняем эту производную к нулю:

$8{\cdot x}^3-2\cdot x=0$

$x\cdot \left(8x^2-2\right)=0$

$x_1=0$ или $8x^2-2=0$

$4x^2-1=0$

$4x^2=1$

$x^2=\frac{1}{4}$

$x_2=-\frac{1}{2}$ или $x_3=\frac{1}{2}$
Получили три нуля функции и четыре промежутка:

$\left(-\infty ;\ -\frac{1}{2}\right), \left(-\frac{1}{2};0\right), \left(0;\ \frac{1}{2}\right), \left(\frac{1}{2};\ +\infty \right).$

Найдем знак производной на каждом из этих промежутков:
$y'\left(-1\right)=8{\cdot \left(-1\right)}^3-2\cdot \left(-1\right)<0$ — функция убывает
$y'\left(-\frac{1}{4}\right)=8{\cdot \left(-\frac{1}{4}\right)}^3-2\cdot \left(-\frac{1}{4}\right)>0$ — функция возрастает
$y'\left(\frac{1}{4}\right)=8{\cdot \left(\frac{1}{4}\right)}^3-2\cdot \frac{1}{4}<0$ — функция убывает
$y'\left(1\right)=8{\cdot 1}^3-2\cdot 1>0$ — функция возрастает
Найдем значения функции в концах промежутков:

$y\left(-\frac{1}{2}\right)=2{\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)}^4-{\left(-\frac{1}{2}\right)}^2+1=\frac{1}{8}-\frac{1}{4}+1=-\frac{1}{8}+1=\frac{7}{8}$

$y\left(0\right)=2{\cdot 0}^4-0^2+1=1$

$y\left(\frac{1}{2}\right)=2{\cdot \left(\frac{1}{2}\right)}^4-{\left(\frac{1}{2}\right)}^2+1=\frac{1}{8}-\frac{1}{4}+1=-\frac{1}{8}+1=\frac{7}{8}$

Для построения найдем еще для двух значений х их значения у и отобразим их симметрично Оу:
$x=1$ : $y\left(1\right)=2{\cdot 1}^4-1^2+1=2$
$x=2$ : $y\left(2\right)=2{\cdot 2}^4-2^2+1=29$
Нанесем точки на плоскость и, с учетом всех найденных особенностей функции, проведем кривую графика.

Постройте график функции y=2x^4-x^2+1

Пожалуйста, зарегистрируйтесь или войдите, чтобы добавить ответ.