Площадь трапеции через диагонали

DWQA Questions › Площадь трапеции через диагонали

0 +1 -1

Asya Админ. спросил 7 лет назад

Здравствуйте!
Как найти площадь трапеции через диагонали? Есть ведь формула какая-то?
Спасибо!

1 ответ

0 +1 -1

Asix Админ. ответил 7 лет назад

Разберемся как находить площадь трапеции через диагонали.
Если известны диагонали трапеции, то ее площадь можно найти по следующей формуле:

$S=\frac{\sqrt{\left({\left(diag1+diag2\right)}^2-{\left(v.osn.+n.osn.\right)}^2\right)\left({\left(v.osn.+n.osn.\right)}^2-{\left(diag1-diag2\right)}^2\right)}}{4}$

Здесь:
$v.osn.$ и $n.osn.$ — верхнее и нижнее основание соответственно;
$diag1$ и $diag2$ — диагонали.
Эта формула выводится с помощью формулы Герона для треугольника, у которого длины сторон равны диагоналям и сумме оснований трапеции.
Рассмотрим пример применения данной формулы.

Пример.
Трапеция с основаниями 10 см и 90 см имеет диагонали по 75 см и 35 см. Найдем ее площадь.

Решение.
Построим трапецию KLMN.
Проведем из вершины М трапеции высоту МО к нижнему основанию KN.
Через точку М проведем прямую параллельно диагонали LN. Точку пересечения этой прямой с продолжением основания KN трапеции обозначим Q.
Рассмотрим четырехугольник LMQN. Стороны KQ и LM параллельны, так они содержат основания трапеции, а LN параллельна MQ согласно построению.
Следовательно, LMQN является параллелограммом согласно определению, что значит равенство противоположных его сторон.
Таким образом, в треугольнике KMQ сторона КМ равна одной диагонали трапеции, сторона MQ равна другой диагонали трапеции (LN), а основание KQ равно сумме оснований трапеции (KN + LM).
Найдем площадь трапеции по приведенной выше формуле:

$S=\frac{\sqrt{\left({\left(diag1+diag2\right)}^2-{\left(v.osn.+n.osn.\right)}^2\right)\left({\left(v.osn.+n.osn.\right)}^2-{\left(diag1-diag2\right)}^2\right)}}{4}=$

$=\frac{\sqrt{\left({\left(75+35\right)}^2-{\left(10+90\right)}^2\right)\left({\left(10+90\right)}^2-{\left(75-35\right)}^2\right)}}{4}=$

$=\frac{\sqrt{\left({110}^2-{100}^2\right)\left({100}^2-{40}^2\right)}}{4}=\frac{\sqrt{2100\cdot 8400}}{4}=\frac{4200}{4}=1050$ (кв. см).

Ответ. $1050$ (кв. см).

Площадь трапеции через диагонали

Пожалуйста, зарегистрируйтесь или войдите, чтобы добавить ответ.