Свойства высоты

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Высотой называется перпендикуляр, опущенный из вершины геометрической фигуры на основание.

Рассмотрим высоты треугольника и четырехугольника. У треугольника из каждой вершины можно опустить одну высоту (рис. 1). У четырехугольника из каждой вершины можно опустить две высоты на стороны, не смежные с данной вершиной (или на их продолжение) (рис. 2).

Свойства высоты геометрических фигур

В треугольнике высоты пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром. В остроугольном треугольнике высоты пересекаются внутри треугольника; в тупоугольном – вне треугольника; в прямоугольном – в вершине прямого угла.
В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобных исходному.
В остроугольном треугольнике две его высоты отсекают от него подобные треугольники.
В равнобедренном треугольнике высота, опущенная на основание, является медианой и биссектрисой.
В равностороннем треугольнике все высоты являются медианами и биссектрисами.
Площадь треугольника вычисляется с помощью высоты и стороны, на которую она опущена:
$S=\frac{1}{2}AC\cdot BK=\frac{1}{2}AB\cdot CM=\frac{1}{2}BC\cdot AL$
Площадь параллелограмма вычисляется по формуле:
$S=a\cdot {{h}_{a}}$

где $a$ – сторона параллелограмма, ${{h}_{a}}$ – высота, опущенная на сторону $a$ .
Площадь трапеции
$S=\frac{a+b}{2}\cdot h$

где $a,\ b$ – основания трапеции, $h$ – высота трапеции.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание

Высота треугольника $ABC$ , опущенная из вершины $B$ на $5$ см больше основания $AC$ . Площадь треугольника $ABC$ равна 18 см $^{2}$ . Найти основание и высоту.

Решение

Обозначим сторону $AC$ через $x$ , тогда высота $BK=x+5$ . Площадь треугольника находится из следующего соотношения:

$S=\frac{1}{2}\cdot AC \cdot BK=\frac{1}{2}\cdot x\cdot (x+5)=18$

Из последнего равенства получим, что $x=4$ , т.е.

$AC=4\ cm$

а $BK=4+5=9$ см.

Ответ

$AC=4\ cm, \quad BK=9\ cm$

ПРИМЕР 2

Задание

В параллелограмме $ABCD$ с углом $A$ , равным ${{30}^{\circ}}$ , опущена высота $BK$ , которая делит сторону $AD$ на отрезки $3$ см и $4$ см. Найти площадь параллелограмма.