Найти решение задачи коши

DWQA Questions › Найти решение задачи коши

0 +1 -1

Asya Админ. спросил 7 лет назад

Здравствуйте!
Помогите решить задачу:
Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения $y'+\frac{y}{x}=12e^{x^2}$ при начальном условии у(1) = е.
Спасибо!

1 ответ

0 +1 -1

Asix Админ. ответил 7 лет назад

Задача.
Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения $y'+\frac{y}{x}=12e^{x^2}$ при начальном условии у(1) = е.

Решение.
Заданное по условию диф. уравнение является линейным. Произведем в нем следующую замену — функцию у заменим произведением двух функций:
y = uv.
Найдем производную от функции у:
y’ = u’v + uv’.
Подставим новые переменные в заданное диф. уравнение:

$u'v+uv'+\frac{uv}{x}=12e^{x^2}.$

Общий множитель, который видим в левой части уравнения, вынесем за скобки:

$u'v+u\left(v'+\frac{v}{x}\right)=12e^{x^2}.$

Составим следующую систему уравнений:

$\left\{ \begin{array}{c} v'+\frac{v}{x}=0, \\ u'v=12e^{x^2}. \end{array} \right.$

Найдем переменную v из первого уравнения системы. Для этого сначала перейдем к уравнению в дифференциалах:

$\frac{dv}{dx}=-\frac{v}{x}.$

Затем проинтегрируем и решим уравнение:

$\int{\frac{dv}{dx}}=-\int{\frac{v}{x}};$

${\ln \left|v\right|\ }=-{\ln \left|x\right|\ };$

${\ln \left|v\right|\ }={\ln \frac{1}{\left|x\right|}\ };$

$v=\frac{1}{x}.$

Теперь подставим найденное значение функцию во второе уравнение системы и вычислим функцию u:

$u'\cdot \frac{1}{x}=12e^{x^2}.$

Перейдем к уравнению в дифференциалах:

$\frac{du}{dx}\cdot \frac{1}{x}=12e^{x^2};$

$du=12xe^{x^2}dx.$

Интегрируем:
$\int{du}=12\int{xe^{x^2}dx}$ /
Внесем функцию под знак дифференциала:

$u=6\int{e^{x^2}d\left(x^2\right)};$

$u=6e^{x^2}+C.$

Подставим теперь обе найденные функции в общее уравнение:

$y=uv=\frac{6e^{x^2}+C}{x}.$

Не забываем, что С — это произвольная постоянная, которая на данный момент неизвестна.
И наконец, решим задачу Коши при условии, что у(1)=е.
Рассчитаем значение функции от 1 и приравняем его к е. Таким образом, мы найдем значение неизвестной постоянной С:

$y\left(1\right)=\frac{6e^{1^2}+C}{1}=e;$

6e+C=e;
C = —5e.
В таком случае, решением задачи Коши будет функция $y=\frac{e^{x^2}-5e}{x}$ .

Ответ. $y=\frac{e^{x^2}-5e}{x}$ .

Найти решение задачи коши

Пожалуйста, зарегистрируйтесь или войдите, чтобы добавить ответ.