Виды дифференциальных уравнений

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Дифференциальным уравнением называется уравнение, которое связывает значение производной некоторой функции и значение независимой переменной.

Определения и все виды дифференциальных уравнений

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Обыкновенные дифференциальные уравнения – это дифференциальные уравнения, которые зависят от одной независимой переменной.

В общем случае они имеют вид

$F\left(x;\; y;\; y';...;\; y^{\left(n\right)} \right)=0$

Здесь $y=y\left(x\right)$ – искомая функция, зависящая от независимой переменной x. Число n называется порядком дифференциального уравнения.

Например: $y'''-2xy'-5y=3$

Наиболее важными являются дифференциальные уравнения первого и второго порядка.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Дифференциальные уравнения в частных производных – это уравнения, содержащие неизвестные функции от нескольких переменных и их частные производные. В общем виде такие уравнения можно записать следующим образом:

$F\left(x_{1} ;\; x_{2} ;...;\; x_{m} ;\; z;\; z'_{x_{1} } ;\; z'_{x_{2} } ;...;\; z'_{x_{m} } ;\; z''_{x_{1}^{2} } ;\; z''_{x_{1} x_{2} } ;...;\; z_{x_{m}^{n} }^{\left(n\right)} \right)=0$

Здесь $x_{1} ,\; x_{2} ,...,\; x_{m}$ – независимые переменные, $z=z\left(x_{1} ;\; x_{2} ;...;\; x_{m} \right)$ – искомая функция многих переменных.

Например: $\frac{\partial ^{2} u}{\partial x^{2} } +\frac{\partial ^{2} u}{\partial y^{2} } =0$

Линейные и нелинейные дифференциальные уравнения

Обыкновенные дифференциальные уравнения и уравнения в частных производных делятся на линейные и нелинейные.

Дифференциальное уравнение называется линейным, если неизвестная функция и её производные входят в уравнение только в первой степени и не перемножаются друг с другом:

$g_{n} \left(x\right)y^{\left(n\right)} \left(x\right)+g_{n-1} \left(x\right)y^{\left(n-1\right)} \left(x\right)+...+g_{1} \left(x\right)y'\left(x\right)+g_{0} \left(x\right)y\left(x\right)=f\left(x\right)$

Здесь $g_{i} \left(x\right)$ – известные функции (коэффициенты уравнения); функция $f\left(x\right)$ – свободный член (или правая часть).

Важным подклассом линейных уравнений являются линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.

Еще одним из подклассов линейных уравнений являются однородные дифференциальные уравнения – уравнения, правые части которых равны нулю $\left(f\left(x\right)=0\right)$ . Все остальные линейные дифференциальные уравнения называются неоднородными дифференциальными уравнениями.

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Виды дифференциальных уравнений

Определения и все виды дифференциальных уравнений

Линейные и нелинейные дифференциальные уравнения