Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Виды дифференциальных уравнений

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Дифференциальным уравнением называется уравнение, которое связывает значение производной некоторой функции и значение независимой переменной.

Определения и все виды дифференциальных уравнений

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Обыкновенные дифференциальные уравнения – это дифференциальные уравнения, которые зависят от одной независимой переменной.

В общем случае они имеют вид

    \[F\left(x;\; y;\; y';...;\; y^{\left(n\right)} \right)=0\]

Здесь y=y\left(x\right) – искомая функция, зависящая от независимой переменной x. Число n называется порядком дифференциального уравнения.

Например: y'''-2xy'-5y=3

Наиболее важными являются дифференциальные уравнения первого и второго порядка.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Дифференциальные уравнения в частных производных – это уравнения, содержащие неизвестные функции от нескольких переменных и их частные производные. В общем виде такие уравнения можно записать следующим образом:

    \[F\left(x_{1} ;\; x_{2} ;...;\; x_{m} ;\; z;\; z'_{x_{1} } ;\; z'_{x_{2} } ;...;\; z'_{x_{m} } ;\; z''_{x_{1}^{2} } ;\; z''_{x_{1} x_{2} } ;...;\; z_{x_{m}^{n} }^{\left(n\right)} \right)=0\]

Здесь x_{1} ,\; x_{2} ,...,\; x_{m} – независимые переменные, z=z\left(x_{1} ;\; x_{2} ;...;\; x_{m} \right) – искомая функция многих переменных.

Например: \frac{\partial ^{2} u}{\partial x^{2} } +\frac{\partial ^{2} u}{\partial y^{2} } =0

Линейные и нелинейные дифференциальные уравнения

Обыкновенные дифференциальные уравнения и уравнения в частных производных делятся на линейные и нелинейные.

Дифференциальное уравнение называется линейным, если неизвестная функция и её производные входят в уравнение только в первой степени и не перемножаются друг с другом:

    \[g_{n} \left(x\right)y^{\left(n\right)} \left(x\right)+g_{n-1} \left(x\right)y^{\left(n-1\right)} \left(x\right)+...+g_{1} \left(x\right)y'\left(x\right)+g_{0} \left(x\right)y\left(x\right)=f\left(x\right)\]

Здесь g_{i} \left(x\right) – известные функции (коэффициенты уравнения); функция f\left(x\right) – свободный член (или правая часть).

Важным подклассом линейных уравнений являются линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.

Еще одним из подклассов линейных уравнений являются однородные дифференциальные уравнения – уравнения, правые части которых равны нулю \left(f\left(x\right)=0\right). Все остальные линейные дифференциальные уравнения называются неоднородными дифференциальными уравнениями.