Найти пределы функций не пользуясь правилом лопиталя

DWQA Questions › Найти пределы функций не пользуясь правилом лопиталя

0 +1 -1

Asya Админ. спросил 7 лет назад

Здравствуйте!
Задали объяснить как найти пределы функций не пользуясь правилом Лопиталя. Кто может выручить?!
Спасибо!

1 ответ

0 +1 -1

Asix Админ. ответил 7 лет назад

Как найти предел не пользуясь правилом Лопиталя постараюсь объяснить на примерах.

Пример 1.
Найдем предел без использования правила Лопиталя:

${\mathop{\lim }_{x\to 3} \frac{\sqrt{5x+30}-\sqrt{50x-105}}{25x-75}\ }.$

Решение.

${\mathop{\lim }_{x\to 3} \frac{\sqrt{5x+30}-\sqrt{50x-105}}{25x-75}\ }=\frac{0}{0}.$

При непосредственной подстановке значения 3 вместо переменной х получили неопределенность типа $\frac{0}{0}$ . Чтобы избавиться от такого вида неопределенности нужно умножить и числитель, и знаменатель дроби на сопряженное выражение:

${\mathop{\lim }_{x\to 3} \frac{\left(\sqrt{5x+30}-\sqrt{50x-105}\right)\cdot \left(\sqrt{5x+30}+\sqrt{50x-105}\right)}{25\cdot \left(x-3\right)\cdot \left(\sqrt{5x+30}+\sqrt{50x-105}\right)}\ }=$

$=\frac{1}{25}{\mathop{\lim }_{x\to 3} \frac{5x+30-\left(50x-105\right)}{\left(x-3\right)\cdot \left(\sqrt{5x+30}+\sqrt{50x-105}\right)}\ }=$

$=\frac{1}{25}{\mathop{\lim }_{x\to 3} \frac{5x+30-50x+105}{\left(x-3\right)\cdot \left(3\sqrt{5}+3\sqrt{5}\right)}\ }=$

$=\frac{1}{25}\cdot \frac{1}{6\sqrt{5}}{\mathop{\lim }_{x\to 3} \frac{-45x+135}{\left(x-3\right)}\ }=\frac{1}{150\sqrt{5}}{\mathop{\lim }_{x\to 3} \frac{-45\left(x-3\right)}{\left(x-3\right)}\ }=$

$=\frac{1}{150\sqrt{5}}\cdot \left(-45\right)=\frac{-45}{150\sqrt{5}}=-\frac{3}{10\sqrt{5}}.$

Ответ. ${\mathop{\lim }_{x\to 3} \frac{\sqrt{5x+30}-\sqrt{50x-105}}{25x-75}\ }=-\frac{3}{10\sqrt{5}}$ .

Пример 2.
Найдем предел без использования правила Лопиталя:

${\mathop{\lim }_{x\to +\infty } \frac{17x+74}{13x^3-51x+11}\ }.$

Решение.
При непосредственной подстановке вместо переменной х его значения $+\infty$ получаем неопределенность $\frac{\infty }{\infty }$ :

${\mathop{\lim }_{x\to +\infty } \frac{17x+74}{13x^3-51x+11}\ }=\frac{\infty }{\infty }.$

Чтобы от нее избавиться поделим числитель и знаменатель на переменную в наибольшей степени:

${\mathop{\lim }_{x\to +\infty } \frac{17x+74}{13x^3-51x+11}\ }={\mathop{\lim }_{x\to +\infty } \frac{\frac{17x}{x^3}+\frac{74}{x^3}}{\frac{13x^3}{x^3}-\frac{51x}{x^3}+\frac{11}{x^3}}\ }={\mathop{\lim }_{x\to +\infty } \frac{\frac{17}{x^2}+\frac{74}{x^3}}{13-\frac{51}{x^2}+\frac{11}{x^3}}\ }.$

Теперь подставим вместо х его значение и получим:

${\mathop{\lim }_{x\to +\infty } \frac{\frac{17}{x^2}+\frac{74}{x^3}}{13-\frac{51}{x^2}+\frac{11}{x^3}}\ }=0.$

Ответ. ${\mathop{\lim }_{x\to +\infty } \frac{17x+74}{13x^3-51x+11}\ }=0$ .

Найти пределы функций не пользуясь правилом лопиталя

Пожалуйста, зарегистрируйтесь или войдите, чтобы добавить ответ.