Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Правило Лопиталя для вычисления пределов

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Теорема (правило) Лопиталя – метод нахождения пределов функций, который позволяет раскрывать неопределенности вида \left[ \frac{0}{0} \right] и \left[ \frac{\infty }{\infty } \right].

Способ раскрытия такого рода неопределённостей был опубликован в учебнике «Analyse des Infiniment Petits» в 1696 году французским математиком, автором первого учебника по математическому анализу, маркизом Гийомом Франсуа Лопиталем (1661-1704). Хотя сам метод был сообщен Лопиталю в письме его первооткрывателем швейцарским математиком, механиком, врачом и филологом-классицистом Иоганном Бернулли (1667-1748).

ПРАВИЛО ЛОПИТАЛЯ
Если

1) \underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,g\left( x \right)=0 или \underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,g\left( x \right)=\infty;

2) функции f\left( x \right) и \quad g\left( x \right) дифференцируемы в окрестности точки x=a;

3) в окрестности этой точки {g}'\left( x \right)\ne 0;

4) существует \underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,\frac{{f}'\left( x \right)}{{g}'\left( x \right)},

то существует и \underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)}, причем \underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)}=\underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,\frac{{f}'\left( x \right)}{{g}'\left( x \right)}

Замечание 1. Рассматриваемые пределы также могут быть односторонними.

Замечание 2. Правило Лопиталя можно также применять к неопределенностям типа \left[ 0\cdot \infty  \right],\ \left[ \infty -\infty  \right],\ \left[ {{0}^{0}} \right],\ \left[ {{1}^{\infty }} \right],\ \left[ {{\infty }^{0}} \right]. Первые две неопределенности можно свести к указанным в правиле Лопиталя типам с помощью алгебраических преобразований. А неопределенности последние три сводятся к неопределенности типа \left[ 0\cdot \infty  \right] с помощью основного логарифмического тождества f{{\left( x \right)}^{g\left( x \right)}}={{e}^{\ln f{{\left( x \right)}^{g\left( x \right)}}}}.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание С помощью правила Лопиталя вычислить предел

    \[ \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{a}^{x}}-1}{x} \]

Решение Начнем с выяснения типа неопределенности (если таковая имеется), для этого вместо x в выражение, стоящее под знаком предела, подставляем нуль:

    \[\frac{{{a}^{0}}-1}{0}=\frac{0}{0}\]

Итак, необходимо раскрыть неопределенность вида \left[ \frac{0}{0} \right]. Для этого применим правило Лопиталя:

    \[\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{a}^{x}}-1}{x}\ \left[ \frac{0}{0} \right]\overset{}{\mathop{=}}\,\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{\left( {{a}^{x}}-1 \right)}^{\prime }}}{{{\left( x \right)}^{\prime }}}\underset{x\to 0}{\mathop{=\lim }}\,\frac{{{a}^{x}}\ln a-0}{1}\underset{x\to 0}{\mathop{=\lim }}\,{{a}^{x}}\ln a={{a}^{0}}\cdot \ln a=\ln a\]

Ответ
ПРИМЕР 2
Задание Найти значение предела

    \[ \underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{4}{{{x}^{2}}-4}-\frac{1}{x-2} \right) \]

Решение Данный предел содержит неопределенность типа

    \[\left[ \frac{4}{{{2}^{2}}-4}-\frac{1}{2-2} \right]=\left[ \frac{4}{0}-\frac{1}{0} \right]=\left[ \infty -\infty  \right]\]

С помощью алгебраических преобразований приведем ее к одной из неопределенностей \left[ \frac{0}{0} \right] или \left[ \frac{\infty }{\infty } \right]. Приведем выражение, предел которого необходимо найти, к общему знаменателю:

    \[\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{4}{{{x}^{2}}-4}-\frac{1}{x-2} \right)\ \left[ \infty -\infty  \right]=\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{4-\left( x+2 \right)}{{{x}^{2}}-4}=\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{2-x}{{{x}^{2}}-4}\]

Полученный в результате предел уже имеет неопределенность

    \[\left[ \frac{2-2}{{{2}^{2}}-4} \right]=\left[ \frac{0}{0} \right]\]

поэтому к нему можно применить правило Лопиталя:

    \[\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{4}{{{x}^{2}}-4}-\frac{1}{x-2} \right)\ \left[ \infty -\infty  \right]=\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{2-x}{{{x}^{2}}-4}\ \left[ \frac{0}{0} \right]\overset{}{\mathop{=}}\,\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{\left( 2-x \right)}^{\prime }}}{{{\left( {{x}^{2}}-4 \right)}^{\prime }}}=\]

    \[=\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{0-1}{2x-0}=\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{-1}{2x}=-\frac{1}{2\cdot 2}=-\frac{1}{4}\]

Ответ