Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Предел функции на бесконечности

Определение предела функции на бесконечности

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Число a называется пределом функции y=f\left( x \right) при x\to \infty, если для любого положительного числа \varepsilon существует положительное число \delta, зависящее от \varepsilon (\delta =\delta \left( \varepsilon  \right)) такое, что для всех значений аргумента из области определения функции, больших по абсолютной величине этого числа \delta, значения функции y=f\left( x \right) отличаются по величине от указанного числа a меньше, чем на \varepsilon:

    \[\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=a\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\ \exists \,\delta =\delta \left( \varepsilon  \right)>0:\forall x\in D\left( y \right):\left| x \right|>\delta \ \left| f\left( x \right)-a \right|<\varepsilon \]

Геометрическое толкование предела функции на бесконечности изображено на рисунке 1.

Рис. 1

Число b называется пределом функции y=f\left( x \right) при x\to +\infty, если для любого числа \varepsilon >0 существует число A=A\left( \varepsilon  \right)>0 такое, что для всех значений аргумента, больших этого числа, значения функции отличаются по величине от указанного числа b меньше, чем на \varepsilon:

    \[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=b\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\ \exists \,A=A\left( \varepsilon  \right)>0:\forall x>A\ \left| f\left( x \right)-a \right|<\varepsilon \]

Геометрический смысл предела функции на бесконечности

Геометрический смысл предела функции при x\to +\infty. Преобразуем неравенство \left| f\left( x \right)-a \right|<\varepsilon в определении предела функции на плюс бесконечности следующим образом:

    \[\left| f\left( x \right)-a \right|<\varepsilon \Leftrightarrow -\varepsilon <f\left( x \right)-a<\varepsilon \]

или

    \[a-\varepsilon <f\left( x \right)<a+\varepsilon \]

Полученное неравенство означает, что график рассматриваемой функции y=f\left( x \right) для всех x>A будет лежать в полосе, которая ограничена прямыми y=a-\varepsilon , \quad y=a+\varepsilon (рис. 2).

Рис. 2

Число b называется пределом функции y=f\left( x \right) при x\to -\infty, если для любого числа \varepsilon >0 существует число A=A\left( \varepsilon  \right)>0 такое, что для всех значений аргумента, меньших этого числа, значения функции отличаются по величине от указанного числа b меньше, чем на \varepsilon:

    \[\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=b\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\ \exists \,A=A\left( \varepsilon  \right)>0:\forall x<A\ \left| f\left( x \right)-a \right|<\varepsilon \]

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Используя определение предела функции, доказать равенство \underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{x}=0
Доказательство То есть необходимо показать, что для любого числа \varepsilon >0 существует число \delta =\delta \left( \varepsilon  \right)>0 такое, что для всех значений x\in D\left( y \right) из того, что \left| x \right|>\delta следует выполнение неравенства \left| f\left( x \right)-0 \right|=\left| \frac{1}{x}-0 \right|=\left| \frac{1}{x} \right|<\varepsilon. Нам необходимо найти указанное число \delta. Преобразуем неравенство \left| f\left( x \right)-0 \right|<\varepsilon:

    \[\left| \frac{1}{x} \right|<\varepsilon \Rightarrow \left| x \right|>\frac{1}{\varepsilon }\]

тогда в качестве \delta возьмем \delta =\frac{1}{\varepsilon }.

Итак,

    \[\forall \varepsilon >0\ \exists \,\delta =\frac{1}{\varepsilon }>0:\forall x\in D\left( y \right):\left| x \right|>\delta \ \left| \frac{1}{x} \right|<\varepsilon \]

Что и требовалось доказать.

ПРИМЕР 2
Задание Доказать по определению, что \underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( {{x}^{2}}+1 \right)=+\infty
Доказательство Необходимо показать, что для любого числа \varepsilon >0 существует число \delta =\delta \left( \varepsilon  \right)>0 такое, что для всех значений x\in D\left( y \right) из того, что \left| x \right|>\delta следует выполнение неравенства \left| f\left( x \right) \right|=\left| {{x}^{2}}+1 \right|>\varepsilon. Нам необходимо найти положительное число \delta.

Рассмотрим верное неравенство {{\left( \left| x \right|-1 \right)}^{2}}\ge 0, тогда применив к левой части формулу сокращенного умножения «квадрат разности», получим

    \[{{\left| x \right|}^{2}}-2\left| x \right|+1\ge 0\Rightarrow {{x}^{2}}+1\ge 2\left| x \right|>\left| x \right|\Rightarrow {{x}^{2}}+1>\left| x \right|\Rightarrow \left| {{x}^{2}}+1 \right|\ge {{x}^{2}}+1>\left| x \right|\]

то есть получили, что

    \[\left| f\left( x \right) \right|=\left| {{x}^{2}}+1 \right|>\left| x \right|>\varepsilon \Rightarrow \delta =\varepsilon \]

Итак,

    \[\forall \varepsilon >0\ \exists \,\delta =\varepsilon >0:\forall x\in D\left( y \right):\left| x \right|>\delta \Rightarrow \left| {{x}^{2}}+1 \right|>\varepsilon \]

Что и требовалось доказать.