Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Предел функции в точке

Определение предела функции в точке по Гейне

Это определение предела функции на языке последовательностей.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Число b называется пределом функции y=f\left( x \right) при x, стремящемся к a (или, что тоже самое, в точке a), если для любой последовательности \left\{ {{x}_{n}} \right\}, сходящейся к a ({{x}_{n}}\ne a\ \forall n), последовательность соответствующих значений функции \left\{ f\left( {{x}_{n}} \right) \right\} сходится к b:

    \[\underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=b:\forall \left\{ {{x}_{n}} \right\}\subset D\left[ f \right]:\left\{ {{x}_{n}} \right\}\underset{n\to \infty }{\mathop{\to }}\,a\Rightarrow \left\{ f\left( {{x}_{n}} \right) \right\}\underset{n\to \infty }{\mathop{\to }}\,b\]

ПРИМЕР
Задание Доказать равенство \underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{x}=0, пользуясь определением предела функции по Гейне.
Доказательство Согласно определению предела функции по Гейне:

    \[\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{x}=0:\forall \left\{ {{x}_{n}} \right\}\subset D\left[ f \right]:\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{x}_{n}}=\infty \Rightarrow \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( {{x}_{n}} \right)=0\]

Пусть \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{x}_{n}}=\infty, докажем, что \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( {{x}_{n}} \right)=0. Предел значений функции

    \[\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( {{x}_{n}} \right)=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{{{x}_{n}}}\]

Поскольку последовательность \left\{ {{x}_{n}} \right\} является бесконечно большой (ее предел равен бесконечности), то последовательность \left\{ \frac{1}{{{x}_{n}}} \right\} – бесконечно малая, а это означает, что ее предел равен нулю. Тогда

    \[\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( {{x}_{n}} \right)=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{{{x}_{n}}}=0\]

Что и требовалось доказать.

Определение предела функции в точке по Коши

Это определение предела функции на языке «\varepsilon\delta».

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Число b называется пределом функции y=f\left( x \right) при x, стремящемся к a, если для любого положительного числа \varepsilon существует такое положительное число \delta, что при всех x\ne a таких, что \left| x-a \right|<\delta выполняется неравенство \left| f\left( x \right)-a \right|<\varepsilon:

    \[\underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=b:\forall \varepsilon >0\ \exists \delta >0:\forall x\in \left( a-\delta ;\ a+\delta  \right)\ \bigcap D\left[ f \right]:0<\left| x-a \right|<\delta \Rightarrow \left| f\left( x \right)-b \right|<\varepsilon \]

ПРИМЕР
Задание Доказать равенство \underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,\left( {{x}^{2}}-1 \right)=8, пользуясь определением предела функции по Коши.
Доказательство Согласно определению предела функции по Коши, имеем, что

    \[\underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,\left( {{x}^{2}}-1 \right)=8:\forall \varepsilon >0\ \exists \delta =\delta \left( \varepsilon  \right)>0:\forall x\in D\left[ f \right]:0<\left| x-3 \right|<\delta \Rightarrow \]

    \[ \Rightarrow \left| \left( {{x}^{2}}-1 \right)-8 \right|<\varepsilon \]

То есть необходимо найти такое положительное \delta, которое будет удовлетворять выше приведенным условиям.

Преобразуем последний модуль:

    \[\left| \left( {{x}^{2}}-1 \right)-8 \right|=\left| {{x}^{2}}-9 \right|=\left| \left( x-3 \right)\left( x+3 \right) \right|=\left| x-3 \right|\cdot \left| x+3 \right|=\left| x-3 \right|\cdot \left| \left( x-3 \right)+6 \right|\]

Далее используем тот факт, что модуль суммы не превышает суммы модулей:

    \[\left| \left( {{x}^{2}}-1 \right)-8 \right|=\left| x-3 \right|\cdot \left| \left( x-3 \right)+6 \right|\le \left| x-3 \right|\cdot \left( \left| x-3 \right|+\left| 6 \right| \right)={{\left( \left| x-3 \right| \right)}^{2}}+6\left| x-3 \right|\]

Выделим в полученном выражении полный квадрат:

    \[\left| \left( {{x}^{2}}-1 \right)-8 \right|\le {{\left( \left| x-3 \right| \right)}^{2}}+6\left| x-3 \right|={{\left( \left| x-3 \right| \right)}^{2}}+2\cdot \left| x-3 \right|\cdot 3+{{3}^{2}}-{{3}^{2}}=\]

    \[={{\left( \left| x-3 \right|+3 \right)}^{2}}-9\]

И по определению это должно быть меньше \varepsilon:

    \[\left| \left( {{x}^{2}}-1 \right)-8 \right|\le {{\left( \left| x-3 \right|+3 \right)}^{2}}-9<\varepsilon \]

Тогда

    \[{{\left( \left| x-3 \right|+3 \right)}^{2}}<\varepsilon +9\Rightarrow \left| x-3 \right|+3<\sqrt{\varepsilon +9}\Rightarrow \left| x-3 \right|<\sqrt{\varepsilon +9}-3\]

Итак, имеем, что с одной стороны

    \[\left| x-3 \right|<\sqrt{\varepsilon +9}-3\]

а с другой (по определению) –

    \[\left| x-3 \right|<\delta \]

Тогда делаем вывод, что в качестве \delta можно взять

    \[\delta =\sqrt{\varepsilon +9}-3>0\]

Таким образом:

    \[\forall \varepsilon >0\ \exists \delta \left( \varepsilon  \right)=\sqrt{\varepsilon +9}-3>0:\forall x\in D\left[ f \right]:0<\left| x-3 \right|<\delta \Rightarrow \left| \left( {{x}^{2}}-1 \right)-8 \right|<\varepsilon \]

Что и требовалось доказать.

ТЕОРЕМА
Определения предела функции в точке по Коши и по Гейне эквивалентны, то есть если число b служит пределом по одному из них, то это верно и по второму.

Замечание 1. Из определения предела функции по Гейне следует, что функция не может иметь в точке двух разных пределов.

Замечание 2. Понятие предела функции в точке – локальное понятие: существование и значение предела полностью определяется значениями функции в как угодно малой окрестности этой точки.

Замечание 3. Геометрически существование предела функции в точке по Коши означает, что для любого числа \varepsilon >0 можно указать на координатной плоскости такой прямоугольник с основанием 2\delta >0 и высотой 2\varepsilon, с точкой пересечения диагоналей \left( a;\ b \right), что все точки графика данной функции на интервале \left( a-\delta ;\ a+\delta  \right), за исключением, быть может, точки\left( a;\ f\left( a \right) \right), лежат в этом прямоугольнике (рис. 1).

Рис. 1

Учитывая то, как будут раскрываться модули, а также тот факт, стремится x слева или справа к значению a, для записанных выше выражений можно построить следующую таблицу:

Во втором столбце записаны условия, накладываемые на переменную и функцию, а третий и четвертый столбцы соответствуют тому, как необходимо эти условия трактовать в определениях предела функции по Гейне и Коши соответственно.

Примеры решения задач

ПРИМЕР
Задание Сформулировать с помощью неравенств утверждение \underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=b-0. Привести соответствующий пример.
Решение Из таблицы берем строки 4 (соответствует x\to \infty) и 9 (соответствует f\left( x \right)\to b-0). Тогда утверждение для определения предела функции по Гейне с помощью неравенств запишется в виде:

    \[\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=b-0:\forall \left\{ {{x}_{n}} \right\}\subset D\left[ f \right]:{{x}_{n}}\underset{n\to \infty }{\mathop{\to }}\,\infty \Rightarrow \left\{ f\left( {{x}_{n}} \right) \right\}\underset{n\to \infty }{\mathop{\to }}\,b\wedge f\left( {{x}_{n}} \right)\le b\]

Аналогично, для определения предела функции по Коши имеем:

    \[\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=b-0:\forall \varepsilon >0\ \exists \delta >0:\forall x\in D\left[ f \right]:\left| x \right|>\delta \Rightarrow b-\varepsilon <f\left( x \right)\le b\]

Приведем соответствующий пример функции, для которой имеет место равенство \underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=b-0 (рис. 2).

Рис. 2