Предел функции в точке
Определение предела функции в точке по Гейне
Это определение предела функции на языке последовательностей.
Задание | Доказать равенство , пользуясь определением предела функции по Гейне. |
Доказательство | Согласно определению предела функции по Гейне:
Пусть , докажем, что . Предел значений функции
Поскольку последовательность является бесконечно большой (ее предел равен бесконечности), то последовательность – бесконечно малая, а это означает, что ее предел равен нулю. Тогда
Что и требовалось доказать. |
Определение предела функции в точке по Коши
Это определение предела функции на языке « — ».
Задание | Доказать равенство , пользуясь определением предела функции по Коши. |
Доказательство | Согласно определению предела функции по Коши, имеем, что
То есть необходимо найти такое положительное , которое будет удовлетворять выше приведенным условиям. Преобразуем последний модуль:
Далее используем тот факт, что модуль суммы не превышает суммы модулей:
Выделим в полученном выражении полный квадрат:
И по определению это должно быть меньше :
Тогда
Итак, имеем, что с одной стороны
а с другой (по определению) –
Тогда делаем вывод, что в качестве можно взять
Таким образом:
Что и требовалось доказать. |
Замечание 1. Из определения предела функции по Гейне следует, что функция не может иметь в точке двух разных пределов.
Замечание 2. Понятие предела функции в точке – локальное понятие: существование и значение предела полностью определяется значениями функции в как угодно малой окрестности этой точки.
Замечание 3. Геометрически существование предела функции в точке по Коши означает, что для любого числа можно указать на координатной плоскости такой прямоугольник с основанием и высотой , с точкой пересечения диагоналей , что все точки графика данной функции на интервале , за исключением, быть может, точки, лежат в этом прямоугольнике (рис. 1).
Рис. 1
Учитывая то, как будут раскрываться модули, а также тот факт, стремится слева или справа к значению , для записанных выше выражений можно построить следующую таблицу:
Во втором столбце записаны условия, накладываемые на переменную и функцию, а третий и четвертый столбцы соответствуют тому, как необходимо эти условия трактовать в определениях предела функции по Гейне и Коши соответственно.
Примеры решения задач
Задание | Сформулировать с помощью неравенств утверждение . Привести соответствующий пример. |
Решение | Из таблицы берем строки 4 (соответствует ) и 9 (соответствует ). Тогда утверждение для определения предела функции по Гейне с помощью неравенств запишется в виде:
Аналогично, для определения предела функции по Коши имеем:
Приведем соответствующий пример функции, для которой имеет место равенство (рис. 2). Рис. 2 |