Предел функции в точке
Определение предела функции в точке по Гейне
Это определение предела функции на языке последовательностей.










Задание | Доказать равенство ![]() |
Доказательство | Согласно определению предела функции по Гейне:
Пусть Поскольку последовательность Что и требовалось доказать. |
Определение предела функции в точке по Коши
Это определение предела функции на языке « —
».









Задание | Доказать равенство ![]() |
Доказательство | Согласно определению предела функции по Коши, имеем, что
То есть необходимо найти такое положительное Преобразуем последний модуль: Далее используем тот факт, что модуль суммы не превышает суммы модулей: Выделим в полученном выражении полный квадрат: И по определению это должно быть меньше Тогда Итак, имеем, что с одной стороны а с другой (по определению) – Тогда делаем вывод, что в качестве Таким образом: Что и требовалось доказать. |

Замечание 1. Из определения предела функции по Гейне следует, что функция не может иметь в точке двух разных пределов.
Замечание 2. Понятие предела функции в точке – локальное понятие: существование и значение предела полностью определяется значениями функции в как угодно малой окрестности этой точки.
Замечание 3. Геометрически существование предела функции в точке по Коши означает, что для любого числа можно указать на координатной плоскости такой прямоугольник с основанием
и высотой
, с точкой пересечения диагоналей
, что все точки графика данной функции на интервале
, за исключением, быть может, точки
, лежат в этом прямоугольнике (рис. 1).

Рис. 1
Учитывая то, как будут раскрываться модули, а также тот факт, стремится слева или справа к значению
, для записанных выше выражений можно построить следующую таблицу:

Во втором столбце записаны условия, накладываемые на переменную и функцию, а третий и четвертый столбцы соответствуют тому, как необходимо эти условия трактовать в определениях предела функции по Гейне и Коши соответственно.
Примеры решения задач
Задание | Сформулировать с помощью неравенств утверждение ![]() |
Решение | Из таблицы берем строки 4 (соответствует ![]() ![]() Аналогично, для определения предела функции по Коши имеем: Приведем соответствующий пример функции, для которой имеет место равенство ![]() Рис. 2 |
