Найти общее решение уравнения

DWQA Questions › Найти общее решение уравнения

0 +1 -1

Asya Админ. спросил 7 лет назад

Доброго времени суток!
Помогите найти общее решение уравнения $y''-13y'=17x^2$ . Пожалуйста, с пояснениями, так, чтобы я смогла разобраться – что к чему.
Всего наилучшего всем, кто откликнется!

1 ответ

0 +1 -1

Asix Админ. ответил 7 лет назад

Задание.
Найдем общее решение указанного уравнения:

$y^{''}-13y^{'}=17x^2.$

Решение.
Уравнение $y^{''}-13y^{'}=17x^2$ является линейным неоднородным дифференциальным уравнением 2-го порядка, так как в правой части уравнения стоит функция (а не нуль) и в уравнении высший порядок производной — второй.
Сначала составим соответствующее однородное уравнение и решим его. Для этого левую часть оставляем неизменной, а в правой части вместо функции запишем ноль:

$y^{''}-13y^{'}=0.$

Составляем характеристическое уравнение, в котором заменяем $y^{'}=k$ , а $y^{''}=k^2$ :

$k^2-13k=0;$

$k_1=0; k_2=13.$

Таким образом, мы получили все данные для записи общего решения однородного уравнения:

$y=C_1e^{k_1x}+C_2e^{k_2x}=C_1+C_2e^{13x}.$

Теперь найдем любое частное решение данного уравнения и добавим его к общему решению однородного чтобы получить общее решение уравнения.
Частное решение запишем так:

$y_1=x\left(Ax^2+Bx+C\right)=Ax^3+Bx^2+Cx,$