Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка

Определение и формулы неоднородных ДУ второго порядка

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется дифференциальное уравнение вида

    \[y''+py'+qy=f\left(x\right) \qquad (1)\]

где p и q – произвольные действительные числа, а правая часть f\left(x\right) – непрерывна функция на интервале интегрирования X.

ТЕОРЕМА
Общее решение y\left(x\right) линейного неоднородного дифференциального уравнения (1) с непрерывной на интервале X функцией f\left(x\right) равно сумме общего решения y_{odn} \left(x\right) соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения

    \[y''+py'+qy=0 \qquad (2)\]

и какого-нибудь частного решения y_{chastn} \left(x\right) исходного неоднородного уравнения (1), то есть

    \[y\left(x\right)=y_{odn} \left(x\right)+y_{chastn} \left(x\right)\]

Нахождение решения однородного уравнения (2) можно посмотреть тут — решение дифференциальных уравнений второго порядка и линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка.

Методы нахождения частного решения неоднородных ДУ второго порядка

Существует несколько методов нахождения частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами (1). Эти методы выбираются в зависимости от вида правой части – функции f\left(x\right).

1) Если функция f\left(x\right) представляет собой многочлен n-ой степени

    \[f\left(x\right)=P_{n} \left(x\right)\]

то частное решение уравнения (1) ищется в виде

    \[y_{chastn} \left(x\right)=Q_{n} \left(x\right)\cdot x^{s} \]

Здесь Q_{n} \left(x\right) – многочлен степени n с неопределенными коэффициентами (которые подлежат определению), а s – кратность корня k=0 характеристического уравнения однородного уравнения (2) (или то есть количество корней характеристического уравнения, равных нулю).

Так как y_{chastn} \left(x\right) – частное решение уравнения (1), то коэффициенты, определяющие многочлен Q_{n} \left(x\right), можно найти методом неопределенных коэффициентов из равенства

    \[y''_{chastn} +p\cdot y'_{chastn} +q\cdot y_{chastn} =f\left(x\right) \qquad (3)\]

использовав тот факт, что два многочлена равны, если равны коэффициенты при соответствующих степенях независимой переменной.

ПРИМЕР
Задание Найти решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами y''-2y'=x^{2} +1.
Решение Общее решение заданного уравнения равно сумму общего решения соответствующего однородного уравнения y_{odn} \left(x\right) и какого-либо частного решения неоднородного уравнения y_{chastn} \left(x\right), то есть

    \[y\left(x\right)=y_{odn} \left(x\right)+y_{chastn} \left(x\right)\]

Вначале найдем общее решение соответствующего однородного дифференциального уравнения

    \[y''-2y'=0\]

Записываем характеристическое уравнение и находим его корни:

    \[k^{2} -2k=0\Rightarrow k\left(k-2\right)=0\Rightarrow \left[\begin{array}{l} {k_{1} =0,} \\ {k_{2} =2.} \end{array}\right. \]

Получили различные действительные корни, а поэтому искомое решение

    \[y_{odn} \left(x\right)=C_{1} e^{k_{1} x} +C_{2} e^{k_{2} x} =C_{1} e^{0\cdot x} +C_{2} e^{2x} =C_{1} +C_{2} e^{2x} \]

Найдем теперь частное решение y_{chastn} \left(x\right) неоднородного уравнения. Поскольку права часть f\left(x\right)=x^{2} +1 исходного уравнения представляет собой многочлен второй степени и один из корней характеристического уравнения равен нулю (k_{1} =0, значит, показатель степени s – кратность корня – равен единице), то частное решение

    \[y_{chastn} \left(x\right)=\left(Ax^{2} +Bx+C\right)\cdot x^{1} =Ax^{3} +Bx^{2} +Cx\]

где коэффициенты A,\; B,\; C неизвестны. Для их определения подставим эту функцию в заданное неоднородное дифференциальное уравнение:

    \[\left(Ax^{3} +Bx^{2} +Cx\right)^{{''} } -2\cdot \left(Ax^{3} +Bx^{2} +Cx\right)^{{'} } =x^{2} +1\]

    \[\left(3Ax^{2} +2Bx+C\right)^{{'} } -2\cdot \left(3Ax^{2} +2Bx+C\right)=x^{2} +1\]

    \[6Ax+2B-6Ax^{2} -4Bx-2C=x^{2} +1\Rightarrow \]

    \[\Rightarrow \left. \begin{array}{c} {x^{2} } \\ {x^{1} } \\ {x^{0} } \end{array}\right|\begin{array}{l} {-6A=1,} \\ {6A-4B=0,} \\ {2B-2C=1} \end{array}\Rightarrow \left\{\begin{array}{l} {A=-\frac{1}{6} ,} \\ {B=-\frac{1}{4} ,} \\ {C=-\frac{3}{4} .} \end{array}\right. \]

А тогда искомое частное решение

    \[y_{chastn} \left(x\right)=x\left(-\frac{x^{2} }{6} -\frac{x}{4} -\frac{3}{4} \right)=-\frac{x\left(2x^{2} +3x+9\right)}{12} \]

Таким образом, общее решение заданного дифференциального уравнения

    \[y\left(x\right)=y_{odn} \left(x\right)+y_{chastn} \left(x\right)=C_{1} +C_{2} e^{2x} -\frac{x\left(2x^{2} +3x+9\right)}{12} \]

Ответ y\left(x\right)=C_{1} +C_{2} e^{2x} -\frac{x\left(2x^{2} +3x+9\right)}{12}

2) Если функция f\left(x\right), стоящая в правой части уравнения (1), имеет вид

    \[f\left(x\right)=P_{n} \left(x\right)e^{ax} \]

то есть представляет собой произведение многочлена степени n и экспоненты, то частное решение этого уравнения ищется в виде

    \[y_{chastn} \left(x\right)=Q_{n} \left(x\right)e^{ax} x^{s} \]

где Q_{n} \left(x\right) – многочлен степени n с неопределенными коэффициентами, а s – кратность корня k=a в характеристическом уравнении соответствующего однородного уравнения (2) (или то есть количество корней характеристического уравнения, равных a). Коэффициенты многочлена Q_{n} \left(x\right) определяются подстановкой частного решения y_{chastn} \left(x\right) в исходное уравнение (так как y_{chastn} \left(x\right) является решением, то оно должно удовлетворять уравнению). Таким образом, должно выполняться равенство (3).

ПРИМЕР
Задание Найти решение дифференциального уравнения y''+2y'+y=\left(x^{2} +1\right)e^{x}
Решение Заданному уравнению соответствует линейное однородное дифференциальное уравнение

    \[y''+2y'+y=0\]

Его характеристическое

    \[k^{2} +2k+1=0\Rightarrow \left(k+1\right)^{2} =0\Rightarrow k_{1,\, 2} =-1\]

А тогда общее решение однородного уравнения

    \[y_{odn} \left(x\right)=\left(C_{1} +C_{2} x\right)e^{-x} \]

Поскольку правая часть – функция f\left(x\right)=\left(x^{2} +1\right)e^{x} – исходного неоднородного уравнения представляет собой произведение многочлена второй степени на экспоненту, то частное решение ищем в виде

    \[y_{chastn} \left(x\right)=\left(Ax^{2} +Bx+C\right)e^{x} \]

В данном случае s=0, так как среди корней характеристического уравнения однородного уравнения нет a=1.

Подставляем это выражение в исходное дифференциальное уравнение:

    \[\left(\left(Ax^{2} +Bx+C\right)e^{x} \right)^{{''} } +2\cdot \left(\left(Ax^{2} +Bx+C\right)e^{x} \right)^{{'} } +\left(Ax^{2} +Bx+C\right)e^{x} =\left(x^{2} +1\right)e^{x} \]

Найдем производные отдельно:

    \[\left(\left(Ax^{2} +Bx+C\right)e^{x} \right)^{{'} } =\left(2Ax+B\right)e^{x} +\left(Ax^{2} +Bx+C\right)e^{x} =\]

    \[=\left(Ax^{2} +\left(2A+B\right)x+B+C\right)e^{x} ;\]

    \[=\left(\left(Ax^{2} +Bx+C\right)e^{x} \right)^{{''} } =\left(\left(Ax^{2} +\left(2A+B\right)x+B+C\right)e^{x} \right)^{{'} } =\]

    \[=\left(2Ax+2A+B\right)e^{x} +\left(Ax^{2} +\left(2A+B\right)x+B+C\right)e^{x} =\]

    \[=\left(Ax^{2} +\left(4A+B\right)x+2A+2B+C\right)e^{x} \]

Тогда

    \[\left(Ax^{2} +\left(4A+B\right)x+2A+2B+C\right)e^{x} +2\cdot \left(Ax^{2} +\left(2A+B\right)x+B+C\right)e^{x} +\]

    \[+\left(Ax^{2} +Bx+C\right)e^{x} =\left(x^{2} +1\right)e^{x} \]

Делим на e^{x} >0 и приравниваем коэффициенты при одинаковых показателях степени независимой переменной x. В результате получаем систему линейных уравнений для нахождения неизвестных коэффициентов A,\; B и C:

    \[\left. \begin{array}{c} {x^{2} } \\ {x^{1} } \\ {x^{0} } \end{array}\right|\begin{array}{l} {A+2A+A=1,} \\ {4A+B+4A+2B+B=0,} \\ {2A+2B+C+2B+2C+C=1} \end{array}\Rightarrow \left\{\begin{array}{l} {4A=1,} \\ {8A+4B=0,} \\ {2A+4B+4C=1} \end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} {A=\frac{1}{4} ,} \\ {B=-\frac{1}{2} ,} \\ {C=\frac{5}{8} .} \end{array}\right. \]

Следовательно, искомое частное решение

    \[y_{chastn} \left(x\right)=\left(\frac{x^{2} }{4} -\frac{x}{2} +\frac{5}{8} \right)e^{x} =\frac{\left(2x^{2} -4x+5\right)e^{x} }{8} \]

А тогда общее решение исходного неоднородного дифференциального уравнения

    \[y\left(x\right)=y_{odn} \left(x\right)+y_{chastn} \left(x\right)=\left(C_{1} +C_{2} x\right)e^{-x} +\frac{\left(2x^{2} -4x+5\right)e^{x} }{8} \]

Ответ y\left(x\right)=\left(C_{1} +C_{2} x\right)e^{-x} +\frac{\left(2x^{2} -4x+5\right)e^{x} }{8}

3) Если правая часть неоднородного дифференциального уравнения (1) имеет вид:

    \[f\left(x\right)=e^{\alpha x} \left[P_{m} \left(x\right)\cos \beta x+Q_{n} \left(x\right)\sin \beta x\right]\]

то частное решение в этом случае ищем в виде:

    \[y_{chastn} \left(x\right)=e^{\alpha x} \left[M_{k} \left(x\right)\cos \beta x+N_{k} \left(x\right)\sin \beta x\right]\cdot x^{s} \]

Здесь s – число комплексно сопряженных пар корней характеристического уравнения \alpha \pm \beta i, \quad k=\max \{ m,\; n\} , \quad M_{k} \left(x\right),\; N_{k} \left(x\right) – многочлены степени k с неизвестными коэффициентами. Коэффициенты этих многочленов определяются из равенства (3).

ПРИМЕР
Задание Найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка y''-3y'+2y=-e^{3x} \left[\left(8x-5\right)\cos 5x+\left(38x+45\right)\sin 5x\right]
Решение Вначале находим решение соответствующего однородного уравнения

    \[y''-3y'+2y=0\]

Его характеристическое

    \[k^{2} -3k+2=0\Rightarrow k_{1} =1,\; k_{2} =2\]

Тогда решение однородного уравнения (поскольку корни характеристического уравнения действительны и различны)

    \[y_{odn} \left(x\right)=C_{1} e^{k_{1} x} +C_{2} e^{k_{2} x} =C_{1} e^{1\cdot x} +C_{2} e^{2x} =C_{1} e^{x} +C_{2} e^{2x} \]

Частное решение исходного неоднородного уравнения ищем по виду правой части. В данном случае k=\max \left\{1,\; 1\right\}=1, числа 3\pm 5i не являются корнями характеристического многочлена (то есть s=0). Тогда

    \[y_{chastn} \left(x\right)=e^{3x} \left[\left(Ax+B\right)\cos 5x+\left(Cx+D\right)\sin 5x\right]\]

Подставляем эту функцию в равенство (3) (что то же самое, в исходное дифференциальное уравнение):

    \[\left(e^{3x} \left[\left(Ax+B\right)\cos 5x+N_{k} \left(Cx+D\right)\sin 5x\right]\right)^{{''} } -3\cdot \left(e^{3x} \left[\left(Ax+B\right)\cos 5x+\]

    \[+N_{k} \left(Cx+D\right)\sin 5x\right]\right)^{{'} } +2\cdot \left(e^{3x} \left[\left(Ax+B\right)\cos 5x+N_{k} \left(Cx+D\right)\sin 5x\right]\right)=\]

    \[=-e^{3x} \left[\left(8x-5\right)\cos 5x+\left(38x+45\right)\sin 5x\right]\]

После нахождения производных и приведения подобных слагаемых будем иметь:

    \[-e^{3x} \left[x\sin 5x\left(15A+23C\right)+\sin 5x\left(10A+15B-3C+23D\right)+x\cos 5x\left(23A-15C\right)+\right. \]

    \[\left. +\cos 5x\left(-3A+23B-10C-15D\right)\right]=-e^{3x} \left[\left(8x-5\right)\cos 5x+\left(38x+45\right)\sin 5x\right]\]

Сокращая на \left(-e^{3x} \right) и приравнивая коэффициенты при соответствующих функциях, получим систему линейных алгебраических уравнений для определения неизвестных коэффициентов A,\; B,\; C,\; D:

    \[\left\{\begin{array}{l} {15A+23C=38,} \\ {10A+15B-3C+23D=45,} \\ {23A-15C=8,} \\ {-3A+23B-10C-15D=-5} \end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} {A=1,} \\ {B=1,} \\ {C=1,} \\ {D=1.} \end{array}\right. \]

Итак,

    \[y_{chastn} \left(x\right)=e^{3x} \left[\left(x+1\right)\cos 5x+\left(x+1\right)\sin 5x\right]\]

А тогда искомое решение

    \[y\left(x\right)=y_{odn} \left(x\right)+y_{chastn} \left(x\right)=C_{1} e^{x} +C_{2} e^{2x} +e^{3x} \left[\left(x+1\right)\cos 5x+\left(x+1\right)\sin 5x\right]\]

Ответ y\left(x\right)=C_{1} e^{x} +C_{2} e^{2x} +e^{3x} \left[\left(x+1\right)\cos 5x+\left(x+1\right)\sin 5x\right]

Если правая часть f\left(x\right) имеет отличную, от описанных выше, структуру, то для нахождение решения уравнения (1) применяют метод вариации произвольной постоянной:

1) находится общее решение соответствующего линейного однородного уравнения (2) в виде

    \[y_{odn} \left(x\right)=C_{1} y_{1} \left(x\right)+C_{2} y_{2} \left(x\right)\]

где y_{1} \left(x\right),\; y_{2} \left(x\right) – линейно независимые частные решения линейного однородного дифференциального уравнения (2), C_{1} ,\; C_{2} – некоторые произвольные постоянные;

2) варьируются произвольные постоянные, то есть считается, что они являются функциями независимой переменной x:

    \[C_{1} =C_{1} \left(x\right),\; C_{2} =C_{2} \left(x\right)\]

А в качестве общего решения исходного дифференциального уравнения (1) рассматривается функция

    \[y\left(x\right)=C_{1} \left(x\right)y_{1} \left(x\right)+C_{2} \left(x\right)y_{2} \left(x\right)\]

Функции C_{1} \left(x\right),\; C_{2} \left(x\right) (точнее их производные C'_{1} \left(x\right),\; C'_{2} \left(x\right)) являются решением системы

    \[\left\{\begin{array}{l} {C'_{1} \left(x\right)y_{1} \left(x\right)+C'_{2} \left(x\right)y_{2} \left(x\right)=0,} \\ {C'_{1} \left(x\right)y'_{1} \left(x\right)+C'_{2} \left(x\right)y'_{2} \left(x\right)=0.} \end{array}\right. \qquad (4)\]

Тогда сами неизвестные функции C_{1} =C_{1} \left(x\right),\; C_{2} =C_{2} \left(x\right) находятся с помощью интегрирования.

ПРИМЕР
Задание Найдите решение уравнения y''-4y'+5y=\frac{e^{2x} }{\cos x}
Решение Вначале найдем общее решение соответствующего однородного уравнения y''-4y'+5y=0. Для этого составим и решим его характеристическое уравнение:

    \[k^{2} -4k+5=0\Rightarrow D=\left(-4\right)^{2} -4\cdot 1\cdot 5=16-20=-4=\left(2i\right)^{2} \Rightarrow k_{1,\, 2} =\frac{4\pm 2i}{2\cdot 1} =2\pm i\]

Поскольку корни характеристического уравнения – это комплексно сопряженные числа, то решение однородного уравнения

    \[y_{odn} \left(x\right)=e^{2x} \left(C_{1} \cos x+C_{2} \sin x\right)\]

Так как правая часть исходного неоднородного уравнения не является функцией специального вида, то далее варьируем константы постоянные C_{1} ,\; C_{2}, считая их функциями независимой переменной: C_{1} =C_{1} \left(x\right),\; C_{2} =C_{2} \left(x\right). Тогда общее решение неоднородногоуравнения будем искать в виде:

    \[y\left(x\right)=e^{2x} \left(C_{1} \left(x\right)\cos x+C_{2} \left(x\right)\sin x\right)=\]

    \[=e^{2x} C_{1} \left(x\right)\cos x+e^{2x} C_{2} \left(x\right)\sin x\]

Для нахождения неизвестных функций C_{1} \left(x\right),\; C_{2} \left(x\right) составляем систему (4):

    \[\left\{\begin{array}{l} {C'_{1} \left(x\right)e^{2x} \cos x+C'_{2} \left(x\right)e^{2x} \sin x=0,} \\ {C'_{1} \left(x\right)\left(2e^{2x} \cos x-e^{2x} \sin x\right)+C'_{2} \left(x\right)\left(2e^{2x} \sin x+e^{2x} \cos x\right)=\frac{e^{2x} }{\cos x} .} \end{array}\right. \]

Сократим оба уравнения на e^{2x} >0:

    \[\left\{\begin{array}{l} {C'_{1} \left(x\right)\cos x+C'_{2} \left(x\right)\sin x=0,} \\ {C'_{1} \left(x\right)\left(2\cos x-\sin x\right)+C'_{2} \left(x\right)\left(2\sin x+\cos x\right)=\frac{1}{\cos x} .} \end{array}\right. \]

Найдем решение этой системы методом Крамера (напомним, что неизвестными в этой системе являются функции C'_{1} \left(x\right) и C'_{2} \left(x\right)). Определитель матрицы системы (определитель Вронского):

    \[W=\left|\begin{array}{c} {\cos x}  \\   {2\cos x-\sin x}  \end{array}  \begin{array}{c} {\sin x} \\{2\sin x+\cos x} \end{array}\right|=\]

    \[=2\sin x\cos x+\cos ^{2} x-2\sin x\cos x+\sin ^{2} x=1\ne 0\]

Поскольку W\ne 0, то система имеет единственное решение. Вычисляем вспомогательные определители:

    \[W_{1} =\left|\begin{array}{c} {0}  \\  {\frac{1}{\cos x} }  \end{array} \begin{array}{c} {\sin x} \\ {2\sin x+\cos x} \end{array}\right|=-\frac{1}{\cos x} \cdot \sin x=-{\rm tg}\, x;\]

    \[W_{2} =\left|\begin{array}{c} {\cos x}  \\  {2\cos x-\sin x}  \end{array} \begin{array}{c} {0} \\ {\frac{1}{\cos x} } \end{array}\right|=\cos x\cdot \frac{1}{\cos x} =1\]

Тогда

    \[C'_{1} \left(x\right)=\frac{W_{1} }{W} =\frac{-{\rm tg}\, x}{1} =-{\rm tg}\, x;\ C'_{2} \left(x\right)=\frac{W_{1} }{W} =\frac{1}{1} =1\]

Из первого равенства интегрированием получаем:

    \[C_{1} \left(x\right)=\int \left(-{\rm tg}\, x\right)dx =-\int \frac{\sin xdx}{\cos x} =\int \frac{d\left(\cos x\right)}{\cos x} =\ln \left|\cos x\right|+\bar{C}_{1} \]

а из второго:

    \[C_{2} \left(x\right)=\int dx =x+\bar{C}_{2} \]

Таким образом, искомое решение исходного уравнения

    \[y\left(x\right)=e^{2x} \left(C_{1} \left(x\right)\cos x+C_{2} \left(x\right)\sin x\right)=e^{2x} \left[\left(\ln \left|\cos x\right|+\bar{C}\right)\cos x+\left(x+\bar{C}_{2} \right)\sin x\right]\]

Ответ y\left(x\right)=e^{2x} \left[\left(\ln \left|\cos x\right|+\bar{C}\right)\cos x+\left(x+\bar{C}_{2} \right)\sin x\right]
Нужна помощь с
решением задач?
Более 500 авторов онлайн и готовы помочь тебе прямо сейчас! Цена от 20 рублей за задачу. Сейчас у нас проходит акция, мы дарим 100 руб на первый заказ.