Найдите точку максимума функции y = –x^2 + 49 / x

DWQA Questions › Найдите точку максимума функции y = –x^2 + 49 / x

0 +1 -1

Asya Админ. спросил 7 лет назад

Здравствуйте!
Помогите выполнить задание:
Найдите точку максимума функции y = –x^2 + 49 / x.
Спасибо!

1 ответ

0 +1 -1

Asix Админ. ответил 7 лет назад

Задание.
Найдите точку максимума функции y = -x^2 + 49 / x.

Решение.
Начнем с того, что найдем промежутки, для которых функция будет существовать. Рассмотрим ее уравнение:

$y=-x^2+\frac{49}{x}$

Из него видно, что это уравнение параболы с ветвями, направленными вниз. К тому же есть одно ограничение — функция не может существовать при х = 0.
Теперь нужно найти производную функцию от заданной:

$y'=-2x-\frac{49}{x^2}$

Для того, чтобы получить критические точки, нужно производную функцию приравнять к нулю и решить уравнение:

$-2x-\frac{49}{x^2}=0$

Домножим уравнение на квадрат х, чтобы избавиться от дроби:

$-2x^3-49=0$

Упростим уравнение, сократив его на —2:

$x^3+24,5=0$

Получили кубическое уравнение:

$x^3=-24,5$

$x=-\sqrt[3]{24,5}$

Его можно решить приближенно так:

$x=-2,9$

Получили только одну точку с подозрением на экстремум. Найдем значение функции в этой точке:

$y\left(-\sqrt[3]{24,5}\right)=-{\left(-\sqrt[3]{24,5}\right)}^2+\frac{49}{-\sqrt[3]{24,5}}\approx -8,41-16,9=-25,31$

Проверим, является ли найденная точка точкой максимума. Для этого вычислим знак производной на промежутках до х = —2,9 и после этого значения:
$y'\left(-3\right)=-2\cdot \left(-3\right)-\frac{49}{{\left(-3\right)}^2}>0$ — функция возрастает
$y'\left(1\right)=-2\cdot 1-\frac{49}{1^2}<0$ — функция убывает

Ответ. Точка (—2,9; —25,31) — точка максимума.

Эту же задачу можно было решить более быстрым способом. Как оговаривалось в начале решения, что графиком функции будет парабола с ветвями, направленными вниз. А как известно, у такой параболы максимальной точкой является точка вершины. Поэтому можно было вычислить просто координаты точки вершины. Но представленный здесь алгоритм является более универсальным и подойдет для решения многих подобных задач.

Найдите точку максимума функции y = –x^2 + 49 / x

Пожалуйста, зарегистрируйтесь или войдите, чтобы добавить ответ.