Наименьшее значение функции на отрезке

DWQA Questions › Наименьшее значение функции на отрезке

0 +1 -1

Asya Админ. спросил 7 лет назад

Здравствуйте!
Нужно выполнить задание. Очень нужна Ваша помощь!
Найдите наименьшее значение функции y = (2x + 1)^2 (x – 7) + 9 на отрезке [–11; 11].
Спасибо!

1 ответ

0 +1 -1

Asix Админ. ответил 7 лет назад

Задание.
Найдите наименьшее значение функции $y={\left(2x+1\right)}^2\left(x-7\right)+9$ на отрезке $\left[-11;11\right]$ .

Решение.
Самое первое, что необходимо сделать, это рассчитать производную ф-ции $y={\left(2x+1\right)}^2\left(x-7\right)+9$ .
В функции содержится произведение двух различных многочленов. Для таких ф-ций используют специальную формулу, с помощью которой найдем производную:

$y'=2\left(2x+1\right)\left(x-7\right)+{\left(2x+1\right)}^2=$

Имеем общий множитель (2х + 1), который можно вынести за скобки для упрощения полученного выражения:

$=\left(2x+1\right)\left(2\left(x-7\right)+\left(2x+1\right)\right)=\left(2x+1\right)\left(4x-13\right)$

Запишем производную и найдем результат при условии, что она равна 0:

$\left(2x+1\right)\left(4x-13\right)=0$

$x=-0,5$ или $x=3,25$ — две искомые точки.
Проверим, какая из точек входит в промежуток, который задан в условии. Определяем, что обе точки входят в этот промежуток.
Выполним расчет значений ф-ции от тех точек, которые были найдены, а также не забываем о точках конца промежутка. Подставим значения $x=-0,5$ и $x=3,25$ в исходную ф-цию:

$y\left(-0,5\right)={\left(2\cdot \left(-0,5\right)+1\right)}^2\left(-0,5-7\right)+9=9$

$y\left(3,25\right)={\left(2\cdot 3,25+1\right)}^2\left(3,25-7\right)+9=56,25\cdot \left(-3,75\right)+9=$

$=-201,9375$

$y\left(-11\right)={\left(2\cdot \left(-11\right)+1\right)}^2\left(-11-7\right)+9=-7929$

$y\left(11\right)={\left(2\cdot 11+1\right)}^2\left(11-7\right)+9=2125$

Сравним рассчитанные значения в четырех точках. Становится очевидным, что наименьшее значение у исходной ф-ции будет в точке начала отрезка (—11; —7929).

Ответ. —7929.

Наименьшее значение функции на отрезке

Пожалуйста, зарегистрируйтесь или войдите, чтобы добавить ответ.