корень из 3 sinx + cosx = 1

DWQA Questions › корень из 3 sinx + cosx = 1

0 +1 -1

Asya Админ. спросил 7 лет назад

Здравствуйте!
Задали решить уравнение:
корень из 3 sin x + cos x = 1.
Помогите!!!
Спасибо!

1 ответ

0 +1 -1

Asix Админ. ответил 7 лет назад

Задание.
Решить уравнение:
корень из 3 sin x + cos x = 1.

Решение.
В заданном уравнении один из коэффициентов — иррациональное число, причем такое число, которое присутствует в значениях тригонометрических функций. Только значениями синуса и косинуса является число $\frac{\sqrt{3}}{2}$ , а в нашем уравнении лишь $\sqrt{3}$ . Исправим ситуацию, разделив уравнение на два:

$\frac{\sqrt{3}}{2}{\sin x\ }+\frac{1}{2}{\cos x\ }=\frac{1}{2}.$

Далее заменим коэффициенты возле тригонометрических функций их тригонометрическими выражениями. Замену будем производить таким образом, что возле функции косинус появился синус, а возле синуса — косинус:

${\cos \frac{\pi}{6}\ }{\sin x\ }+{\sin \frac{\pi}{6}\ }{\cos x\ }=\frac{1}{2}.$

Слева от знака равенства получили синус суммы двух аргументов. Используем соответствующую формулу и запишем:

${\sin \left(\frac{\pi}{6}+x\right)\ }=\frac{1}{2}.$

Получили обычное тригонометрическое уравнение, которое решим по стандартному алгоритму и запишем общее решение, которое охватывает все варианты :

$\frac{\pi}{6}+x={\left(-1\right)}^t\cdot \frac{\pi}{6}+\pi t.$

Рассмотрим подробнее возможные варианты корней уравнения.
При нечетных значениях переменной t корни уравнения будут следующими:

$\frac{\pi}{6}+x=\pi-\frac{\pi}{6}+2 \pi t;$

$x=\pi-\frac{\pi}{3}+2 \pi t;$

$x=\frac{2 \pi}{3}+2 \pi t.$

При четных значениях переменной t корнями уравнения будут:

$x=2 \pil.$

Ответ. $x=2 \pi l$ .

Для того, чтобы решить подобное уравнение используется приведение его к виду, который позволит применить формулу тригонометрической функции от суммы (как в данном случае) или от разности аргументов.

корень из 3 sinx + cosx = 1

Пожалуйста, зарегистрируйтесь или войдите, чтобы добавить ответ.