Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Примеры решения тригонометрических уравнений

Простейшие тригонометрические уравнения имеют следующие решения

    \[    \sin x = a \text{ } \Leftrightarrow \text{ } x = (-1)^{k} \arcsin a + \pi k \text{ },\text{ } k \in Z \]

    \[    \cos x = a \text{ } \Leftrightarrow \text{ } x = \pm \arccos a + 2 \pi k \text{ },\text{ } k \in Z \]

    \[    \text{tg }x = a \text{ } \Leftrightarrow \text{ } x = \text{arctg }a + \pi k \text{ },\text{ } k \in Z \]

    \[    \text{ctg }x = a \text{ } \Leftrightarrow \text{ } x = \text{arcctg }a + \pi k \text{ },\text{ } k \in Z \]

Так же среди тригонометрических уравнений можно выделить такие виды уравнений:

  1. Уравнение вида a \sin x + b \cos x = c . (Решаются с помощью введения дополнительного угла);
  2. Однородные тригонометрические уравнения

        \[    a_{0} \sin ^{n} x + a_{1} \sin ^{n-1} x \cos x + a_{2} \sin ^{n-2} x \cos ^{2} x + ... + a_{n-1} \sin x \cos ^{n-1} x + a_{n} \cos ^{n} x = 0 \]

    , где a_{0}, a_{1}, ... , a_{n-1}, a_{n} – действительные числа и n \geq 1 .(Сводятся к уравнению относительно \text{tg }x );

  3. Дробно-рациональные тригонометрические уравнения – уравнения, содержащие дробь, в числителе и знаменателе которой находятся тригонометрические функции;
  4. Тригонометрические уравнения, при решении которых используется ограниченности функций y=\sin x и y= \cos x .

Примеры

ПРИМЕР 1
Задание Решить уравнение

    \[    \cos x = \frac{1}{2} \]

Решение Это элементарное тригонометрическое уравнение. Используя формулу корней такого уравнения x = \pm \arccos a + 2 \pi k \text{ },\text{ } k \in Z , получим

    \[    x = \pm \arccos \frac{1}{2} + 2 \pi k \text{ },\text{ } k \in Z \]

    \[    x = \pm \frac{\pi}{3} + 2 \pi k \text{ },\text{ } k \in Z \]

Ответ
ПРИМЕР 2
Задание Решить уравнение

    \[    5 - 5 \text{tg } \left( \frac{2 \pi}{3} -4x \right) = 0 \]

Решение Запишем данное уравнение в виде и разделим обе части на 5

    \[    5 \text{tg } \left( \frac{2 \pi}{3} -4x \right) = 5 \]

    \[    \text{tg } \left( \frac{2 \pi}{3} -4x \right) = 1 \]

Воспользуемся формулами приведения, получим

    \[    \text{tg } \left( \pi - \frac{\pi}{3} -4x \right) = 1 \]

    \[    \text{tg } \left( \pi -  \left( \frac{\pi}{3} + 4x \right)  \right) = 1 \]

    \[    - \text{tg } \left( \frac{\pi}{3} + 4x \right) = 1 \]

    \[    \text{tg } \left( \frac{\pi}{3} + 4x \right) = -1 \]

Применяя к последнему равенству формулу x = \text{arcctg }a + \pi k \text{ },\text{ } k \in Z , получим:

    \[    \frac{\pi}{3} + 4x  = \text{arcctg } (-1) + \pi k \text{ },\text{ } k \in Z \]

    \[    \frac{\pi}{3} + 4x  = -\frac{\pi}{4} + \pi k \text{ },\text{ } k \in Z \]

    \[    4x  = -\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{3} + \pi k \text{ },\text{ } k \in Z \]

    \[    4x  = -\frac{7\pi}{12} + \pi k \text{ },\text{ } k \in Z \]

    \[    4x  = \frac{5\pi}{12} + \pi k \text{ },\text{ } k \in Z \]

    \[    x  = \frac{5\pi}{48} + \frac{\pi k}{4} \text{ },\text{ } k \in Z \]

Ответ
ПРИМЕР 3
Задание Решить уравнение 3 \sin x + 4 \cos x = 2
Решение Разделим левую и правую часть заданного уравнения на \sqrt{3^{2}+4^{2}} , получим:

    \[    \frac{3}{\sqrt{3^{2}+4^{2}}} \sin x +  \frac{4}{\sqrt{3^{2}+4^{2}}} \cos x =  \frac{2}{\sqrt{3^{2}+4^{2}}} \]

    \[    \frac{3}{\sqrt{9+16}} \sin x +  \frac{4}{\sqrt{9+16}} \cos x =  \frac{2}{\sqrt{9+16}} \]

    \[    \frac{3}{5} \sin x +  \frac{4}{5} \cos x =  \frac{2}{5} \]

Введем вспомогательный угол: \frac{3}{5} = \cos \varphi \text{ },\text{ } \frac{4}{5} = \sin \varphi . Так как \sin \varphi > 0 и \cos \varphi > 0 , то в качестве вспомогательного угла можно взять \varhp = \arcsin \frac{4}{5} . Тогда последнее равенство преобразуется к такому виду:

    \[    \cos \varphi \sin x +  \sin \varphi \cos x =  \frac{2}{5} \]

Применив формулу «синус суммы», перепишем последнее равенство в виде:

    \[    \sin ( x+ \varphi ) =  \frac{2}{5} \]

Получили простейшее тригонометрическое уравнение, корни которого равны

    \[    x+ \varphi = (-1)^{k} \arcsin \frac{2}{5} + \pi k \text{ },\text{ } k \in Z \]

    \[    x = (-1)^{k} \arcsin \frac{2}{5} - \arcsin \frac{4}{5} + \pi k \text{ },\text{ } k \in Z \]

Ответ
ПРИМЕР 4
Задание Решить уравнение \sin ^{2} x + \sin x \cos x - 2 \cos ^{2} x = 0
Решение Это однородное тригонометрическое уравнение. Преобразуем его, поделив левую и правую часть на \cos ^{2} x \neq 0 , получим:

    \[    \frac{\sin ^{2} x}{\cos ^{2} x} + \frac{\sin x \cos x}{\cos ^{2} x} - \frac{2 \cos ^{2} x}{\cos ^{2} x} = \frac{0}{\cos ^{2} x} \]

    \[    \text{tg } ^{2} x + \text{tg } x -2 = 0 \]

Введем замену \text{tg }x = t , тогда последнее уравнение примет вид:

    \[    t^{2} x + t -2 = 0 \]

Решим полученное квадратное уравнение:

    \[    D = 1^{2}-4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1+8=9 \]

    \[    t_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm 3}{2} \text{ } \Rightarrow \text{ } t_{1}=-2 \text{ };\text{ } t_{2}=1 \]

Делаем обратную замену. Если t=-2 , получаем простейшее тригонометрическое уравнение \text{tg }x = -2 , корни которого найдем по формуле x = \text{arctg }a + \pi k \text{ },\text{ } k \in Z , имеем

    \[    x = \text{arctg } (-2) + \pi k \text{ },\text{ } k \in Z \]

Если t=1 , получаем уравнение \text{tg }x = 1 , корни которого равны

    \[    x = \text{arctg } 1 + \pi k \text{ },\text{ } k \in Z \]

    \[    x = \frac{\pi}{4} + \pi k \text{ },\text{ } k \in Z \]

Ответ
ПРИМЕР 5
Задание Решить уравнение

    \[    \frac{\sin x}{1+ \cos x} = 1 - \cos x \]

Решение Это уравнение является дробно-рациональным тригонометрическим уравнением. Правую часть заданного уравнения умножим и разделим на (1+ \cos x) , получим

    \[    \frac{\sin x}{1+ \cos x} = \frac{(1 - \cos x)(1 + \cos x)}{1+ \cos x} \]

Преобразуем выражение, стоящее в правой части последнего равенства, используя формулы сокращенного умножения и основное тригонометрическое тождество:

    \[    \frac{\sin x}{1+ \cos x} = \frac{1 - \cos ^{2} x}{1+ \cos x} \]

    \[    \frac{\sin x}{1+ \cos x} = \frac{\sin ^{2} x}{1+ \cos x} \]

Перенесем все влево, получим:

    \[    \frac{\sin x}{1+ \cos x} - \frac{\sin ^{2} x}{1+ \cos x} = 0 \]

    \[    \frac{\sin x - \sin ^{2} x}{1+ \cos x} = 0 \]

Учитывая, что знаменатель дроби не может быть равен нулю

    \[    1+\cos x \neq 0 \text{ } \Rightarrow \text{ } \cos x \neq -1 \text{ } \Rightarrow \text{ } x \neq \pi + 2 \pi k \text{ },\text{ } k \in Z \]

приравняем к нулю числитель:

    \[    \sin x - \sin ^{2} x = 0 \]

    \[    \sin x (1 - \sin x )= 0 \]

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда один из сомножителей равен нулю. Таким образом,

\sin x = 0 или 1-\sin x= 0

    \[    \sin x = 0 \text{ } \Rightarrow \text{ } x = \pi k\text{ },\text{ } k \in Z \]

    \[    1-\sin x= 0 \text{ } \Rightarrow \text{ } \sin x = 1\text{ } \Rightarrow \text{ } x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k\text{ },\text{ } k \in Z \]

Учитывая что, x \neq \pi + 2 \pi k \text{ },\text{ } k \in Z , получим, что решениями будут: x = 2 \pi k\text{ },\text{ } k \in Z и x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k\text{ },\text{ } k \in Z .

Ответ