Как решить систему уравнений

DWQA Questions › Как решить систему уравнений

0 +1 -1

Asya Админ. спросил 7 лет назад

Доброго времени суток!
Как решить систему уравнений $\begin{cases} & \text{x+2y-4z=-12, } \\ & \text{7x-y+5z=30, } \\ & \text{6x+3y+z=12} \end{cases}$ матричным методом?
Заранее благодарю за помощь!

1 ответ

0 +1 -1

Asix Админ. ответил 7 лет назад

Решаем систему матричным методом.

$A=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & -4 \\ 7 & -1 & 5 \\ 6 & 3 & 1 \end{array} \right),B=\left( \begin{array}{c} -12 \\ 30 \\ 12 \end{array} \right), X=\left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right).$

$A\cdot X=B.$

Значит

$X=A^{-1}\cdot B.$

Сначала найдем обратную матрицу с помощью метода алгебраических дополнений.
Определитель матрицы А равен:

$\left| \begin{array}{ccc} 1 & 2 & -4 \\ 7 & -1 & 5 \\ 6 & 3 & 1 \end{array} \right|=-78$

Детерминант матрицы А не равен нулю, значит матрица $A^{-1}$ существует.
Прежде чем найти обратную матрицу, найдем дополнительные миноры и алгебраические дополнения матрицы А.
Найдем минор $M_{11}$ и алгебраическое дополнение $A_{11}$ . Для этого в матрице А вычеркнем 1 строку и 1 столбец:

$M_{11}=\left| \begin{array}{cc} -1 & 5 \\ 3 & 1 \end{array} \right|=-16$

$A_{11}={\left(-1\right)}^{1+1}M_{11}=-16.$

Аналогично находим остальные миноры и алгебраические дополнения:
Найдем минор $M_{12}$ и алгебраическое дополнение $A_{12}$ . Для этого в матрице А вычеркнем 1 строку и 2 столбец:

$M_{12}=-23$

$A_{12}=23.$

Найдем минор $M_{13}$ и алгебраическое дополнение $A_{13}$ . Для этого в матрице А вычеркнем 1 строку и 3 столбец:

$M_{13}=27$

$A_{13}=27.$

Найдем минор $M_{21}$ и алгебраическое дополнение $A_{21}$ . Для этого в матрице А вычеркнем 2 строку и 1 столбец:

$M_{21}=14$

$A_{21}=-14.$

Найдем минор $M_{22}$ и алгебраическое дополнение $A_{22}$ . Для этого в матрице А вычеркнем 2 строку и 2 столбец:

$M_{22}=25$

$A_{22}=25.$

Найдем минор $M_{23}$ и алгебраическое дополнение $A_{23}$ . Для этого в матрице А вычеркнем 2 строку и 3 столбец:

$M_{23}=-9$

$A_{23}=9.$

Найдем минор $M_{31}$ и алгебраическое дополнение $A_{31}$ . Для этого в матрице А вычеркнем 3 строку и 1 столбец:

$M_{31}=6$

$A_{31}=6.$

Найдем минор $M_{32}$ и алгебраическое дополнение $A_{32}$ . Для этого в матрице А вычеркнем 3 строку и 2 столбец:

$M_{32}=33$

$A_{32}=-33.$

Найдем минор $M_{33}$ и алгебраическое дополнение $A_{33}$ . Для этого в матрице А вычеркнем 3 строку и 3 столбец:

$M_{33}=-15$

$A_{33}=-15.$

Выпишем союзную матрицу:

$C^*=\left( \begin{array}{ccc} -16 & 23 & 27 \\ -14 & 25 & 9 \\ 6 & -33 & -15 \end{array} \right)$

Транспонированная союзная матрица

$C^{*T}=\left( \begin{array}{ccc} -16 & -14 & 6 \\ 23 & 25 & -33 \\ 27 & 9 & -15 \end{array} \right)$

Находим обратную матрицу

$A^{-1}=\frac{C^{*T}}{{\det A\ }}=\left( \begin{array}{ccc} \frac{8}{39} & \frac{7}{39} & -\frac{1}{13} \\ -\frac{23}{78} & -\frac{25}{78} & \frac{11}{26} \\ -\frac{9}{26} & -\frac{3}{26} & \frac{5}{26} \end{array} \right)$

Найдем решение:

$X=A^{-1}\cdot B=\left( \begin{array}{ccc} \frac{8}{39} & \frac{7}{39} & -\frac{1}{13} \\ -\frac{23}{78} & -\frac{25}{78} & \frac{11}{26} \\ -\frac{9}{26} & -\frac{3}{26} & \frac{5}{26} \end{array} \right)\cdot \left( \begin{array}{c} -12 \\ 30 \\ 12 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} -\frac{32}{13}+\frac{70}{13}-\frac{12}{13} \\ \frac{46}{13}-\frac{125}{13}+\frac{66}{13} \\ \frac{54}{13}-\frac{45}{13}+\frac{30}{13} \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} 2 \\ -1 \\ 3 \end{array} \right)$

Ответ:

$\left\{ \begin{array}{c} x=2, \\ y=-1, \\ z=3. \end{array} \right.$

Как решить систему уравнений

Пожалуйста, зарегистрируйтесь или войдите, чтобы добавить ответ.