Как решать тригонометрические уравнения

DWQA Questions › Как решать тригонометрические уравнения

0 +1 -1

Asya Админ. спросил 6 лет назад

Здравствуйте!
Как решать тригонометрические уравнения? Есть ли какой-то общий алгоритм?
Спасибо!

1 ответ

0 +1 -1

Asix Админ. ответил 6 лет назад

Для решения тригонометрического уравнения сначала его преобразовывают к простейшему виду, а затем решают это простейшее уравнение.
Выделяют 7 основных методов решения уравнений.

Метод алгебраический.

Метод заключается в замене переменной или использовании подстановки.

Пример.
Решить уравнение:

$2{{\cos }^2 \left(x+\frac{\pi}{6}\right)\ }-3{\sin \left(\frac{\pi}{3}-x\right)\ }+1=0$

Решение.
Используем формулы приведения:

$2{{\cos }^2 \left(x+\frac{\pi}{6}\right)\ }-3{\cos \left(x+\frac{\pi}{6}\right)\ }+1=0$

Выполним замену:

${\cos \left(x+\frac{\pi}{6}\right)\ }=z$

Тогда:

$2z^2-3z+1=0$

Вычислим корни:

$z_1=1, z_2=\frac{1}{2}.$

Далее решаются два уравнения:
${\cos \left(x+\frac{\pi}{6}\right)\ }=1$ и ${\cos \left(x+\frac{\pi}{6}\right)\ }=\frac{1}{2}$ .
Такие уравнения решаются просто и их решениями будут следующие:

$z_1=-\frac{\pi}{6}+2\pi k$

$z_2=\pm \frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{6}+2\pi n$

Метод разложения на множители.

Пример.
Решить уравнение:

${\sin x+{\cos x=1\ }\ }$

Решение.
Перенесём единицу в левую часть уравнения:

${\sin x+{\cos x-1=0\ }\ }$

Воспользуемся тригонометрическими тождествами и преобразуем выражение в левой части уравнения таким образом, чтобы его можно было разложить на множители:

${\sin x\ }-2{{\sin }^2 \frac{x}{2}\ }=0$

$2{\sin \frac{x}{2}\ }{\cos \frac{x}{2}\ }-2{{\sin }^2 \frac{x}{2}\ }=0$

$2{\sin \frac{x}{2}\ }\cdot \left({\cos \frac{x}{2}\ }-{\sin \frac{x}{2}\ }\right)=0$

Далее остается решить два уравнения:
${\sin \frac{x}{2}\ }=0$ и ${\cos \frac{x}{2}\ }-{\sin \frac{x}{2}\ }=0$
Второе уравнение делением на косинус преобразуют к виду:

${\rm tg}\ \frac{x}{2}=1$

Метод приведения к однородному уравнению.

С помощью известных тригонометрических равенств нужно исходное уравнение свести к уравнению относительно синуса или косинуса одной степени и одного и того же угла.
Далее все члены однородного уравнения переносят в левую его часть, выносят общие множители за скобки и приравнивают все множители к нулю.

Метод перехода к половинному углу.

Метод введения вспомогательного угла.

Метод преобразования произведения в сумму.

Метод используется для избавления от одного из его членов.

Метод универсальной подстановки.

Как решать тригонометрические уравнения

Пожалуйста, зарегистрируйтесь или войдите, чтобы добавить ответ.