Как найти длину медианы треугольника

DWQA Questions › Как найти длину медианы треугольника

0 +1 -1

Asya Админ. спросил 7 лет назад

Здравствуйте!
Как найти длину медианы треугольника через его стороны? Как можно получить такую формулу?
Спасибо!

1 ответ

0 +1 -1

Asix Админ. ответил 7 лет назад

Рассмотрим произвольный треугольник АВС. Длины его сторон обозначим следующим образом:
АВ через storona1;
BC — storona2;
AC — storona3.

Проведем из вершины А медиану к стороне ВС и обозначим ее через m1.
Выведем формулу для расчета длины медианы треугольника через стороны этого треугольника.

Достроим треугольник АВС так, чтобы получить параллелограмм ABDC.

Рассмотрим треугольник АВС. Используя теорему косинусов, найдем косинус угла ВАС:

${storona2}^2={storona1}^2+{storona3}^2-2\cdot storona1\cdot storona3\cdot {\cos \left(BAC\right)\ }.$

Выразим из этой формулы косинус ВАС:

${\cos \left(BAC\right)\ }=\frac{{storona1}^2+{storona3}^2-{storona2}^2}{2\cdot storona1\cdot storona3}.$

Согласно свойству односторонних углов четырехугольника их сумма равна 180 градусов. Следовательно, сумма углов ВАС и ABD также равна 180 градусов.

Тогда ${\cos \left(ABD\right)\ }=-{\cos \left(BAC\right)\ }$ .

Рассмотрим треугольник ABD. Используя теорему косинусов, найдем сторону АD:

${AD}^2={storona1}^2+{BD}^2-2\cdot storona1\cdot BD\cdot {\cos \left(ABD\right)\ }.$

Согласно свойству параллелограмма его противоположные стороны равны, поэтому:
BD = AC = storona3.

${\left(2m_1\right)}^2={storona1}^2+{storona3}^2+2\cdot storona1\cdot storona3\cdot {\cos \left(BAC\right)\ }.$

Поскольку для косинуса угла ВАС у нас уже есть готовое выражение, то подставим его в данное:

${\left(2m_1\right)}^2={storona1}^2+{storona3}^2+2\cdot storona1\cdot storona3\cdot \frac{{storona1}^2+{storona3}^2-{storona2}^2}{2\cdot storona1\cdot storona3}=$

$={storona1}^2+{storona3}^2+{storona1}^2+{storona3}^2-{storona2}^2=$

$=2\cdot {storona1}^2+2\cdot {storona3}^2-{storona2}^2;$

$2m_1=\sqrt{2\cdot {storona1}^2+2\cdot {storona3}^2-{storona2}^2};$

$m_1=\frac{\sqrt{2\cdot {storona1}^2+2\cdot {storona3}^2-{storona2}^2}}{2}.$

Итак, получили формулу для вычисления длины медианы через стороны треугольника.

Как найти длину медианы треугольника

Пожалуйста, зарегистрируйтесь или войдите, чтобы добавить ответ.