Интегрирование тригонометрических функций

DWQA Questions › Интегрирование тригонометрических функций

0 +1 -1

Asya Админ. спросил 6 лет назад

Здравствуйте!
Что нужно знать про интегрирование тригонометрических функций? Какие есть способы интегрирования? Что нужно знать, чтобы научиться интегрированию тригонометрических функций?
Спасибо!

1 ответ

0 +1 -1

Asix Админ. ответил 6 лет назад

Рассмотрим основные методы, которые используются при интегрировании тригоном-ских ф-ций.

Метод подстановок

В большинстве случае интегр-ние тригоном-ских ф-ций выполняют с помощью именно этого метода.
Подстановка t = sin x
Выражение под знаком интеграла преобразовывают по ф-лам:

${\cos x\ }dx=dt$

${\sin x\ }=t$

${{\cos }^2 x\ }=1-t^2$

${{\rm tg}\ }^2x=\frac{t^2}{1-t^2}$

${{\rm ctg}\ }^2x=\frac{1-t^2}{t^2}$

Подстановка t = cos x

${\sin x\ }dx=-dt$

${\cos x\ }=t$

${{\sin }^2 x\ }=1-t^2$

${{\rm tg}\ }^2x=\frac{1-t^2}{t^2}$

${{\rm ctg}\ }^2x=\frac{t^2}{1-t^2}$

Подстановка t = tg x

$\frac{dx}{{{\cos }^2 x\ }}=dt$

$dx=\frac{dt}{1+t^2}$

${\rm tg}\ x=t$

${\rm ctg}\ x=\frac{1}{t}$

${{\sin }^2 x\ }=\frac{t^2}{1+t^2}$

${{\cos }^2 x\ }=\frac{t^2}{1+t^2}$

Подстановка t = ctg x

$\frac{dx}{{{\sin }^2 x\ }}=-dt$

$dx=\frac{dt}{1+t^2}$

${\rm ctg}\ x=t$

${\rm tg}\ x=\frac{1}{t}$

${{\sin }^2 x\ }=\frac{1}{1+t^2}$

${{\cos }^2 x\ }=\frac{t^2}{1+t^2}$

Подстановка t = tg (x/2)

$t={\rm tg}\frac{x}{2}$

$dt=\frac{1}{{{\cos }^2 \frac{x}{2}\ }}d\frac{x}{2}=\frac{1+t^2}{2}dx$

$dx=\frac{2dt}{1+t^2}$

${\sin x\ }=2{\sin \frac{x}{2}\ }{\cos \frac{x}{2}\ }=2\frac{{\sin \frac{x}{2}\ }}{{\cos \frac{x}{2}\ }}{{\cos }^2 \frac{x}{2}\ }=\frac{2t}{1+t^2}$

${\cos x\ }={{\cos }^2 \frac{x}{2}\ }-{{\sin }^2 \frac{x}{2}\ }=\frac{1-t^2}{1+t^2}$

${\rm tg}\ x=\frac{2t}{1-t^2}$

${\rm ctg}\ x=\frac{1-t^2}{2t}$

Метод интегрирования частями

К интегралам, которые содержат обратные тригоном-ские ф-ции arcsin и arccos, довольно часто применяется метод интегр-ния частями:

$u={\arcsin x\ }$

$u={\rm arctg}\ x$

Например, к таким интегралам можно отнести следующие:

$\int{\frac{x{\arcsin x\ }dx}{\left(1-x^2\right)\sqrt{1-x^2}}}$

$\int{x^7{\rm arctg}\ x\ dx}$

$\int{\frac{{\arcsin x\ }}{x^2}dx}$

Зависимость от } $\left({\mathbf a}{\mathbf \ }{\mathbf sin}{\mathbf \ }{\mathbf x}{\mathbf +}{\mathbf b}{\mathbf \ }{\mathbf cos}{\mathbf \ }{\mathbf x}\right)$

Данный метод относится к нестандартным и применяется в случае, если выражение под знаком интеграла зависит от $a{\sin x\ }+b{\cos x\ }$ . В таком случае применяют формулу:

$a{\sin x\ }+b{\cos x\ }=\sqrt{a^2+b^2}{\sin \left(x+\alpha\right)\ },$

где ${\rm tg}\ \alpha=\frac{b}{a}$ .

Интегрирование тригонометрических функций

Пожалуйста, зарегистрируйтесь или войдите, чтобы добавить ответ.