Длина образующей конуса

DWQA Questions › Длина образующей конуса

0 +1 -1

Asya Админ. спросил 6 лет назад

Здравствуйте!
Помогите решить задачу:
Длина образующей конуса равна d, а длина окружности его основания равна l. Найти объем конуса.
Спасибо!

1 ответ

0 +1 -1

Asix Админ. ответил 6 лет назад

Задание.
Длина образующей конуса равна d, а длина окружности его основания равна l. Найти объем конуса.

Решение.
Изобразим конус, ось которого обозначим OS, а диаметр основания — MN.

Запишем формулу для вычисления объема конуса:

$V_{konusa}=\frac{1}{3}S_{osn}\cdot visota$

Поскольку в основании конуса лежит окружность, запишем формулу для вычисления ее длины:

$dlina.okruzhnosti=2\cdot \pi\cdot radius$

Из рисунка видно, что одним из радиусов окружности основания будет отрезок ON. Длина окружности задана по условию и равна l. Подставим эти данные в выше рассмотренную формулу:

$l=2\cdot \pi\cdot ON$

Выразим из этой формулы радиус:

$ON=\frac{l}{2\pi}$

Рассмотрим треугольник SON. Так как отрезок OS является высотой конуса, то он проходит перпендикулярно к диаметру окружности основания. Следовательно, данный треугольник является прямоугольным. Применим к нему теорему Пифагора:

${SN}^2={SO}^2+{ON}^2$

Из данного уравнения выразим высоту SO:

${SO}^2={SN}^2-{ON}^2$

$SO=\sqrt{{SN}^2-{ON}^2}$

Подставим в полученную формулу вычисленные значения:

$SO=\sqrt{d^2-{\left(\frac{l}{2\pi}\right)}^2}$

Приведем выражение под знаком корня к одному знаменателю:

$SO=\sqrt{d^2-\frac{l^2}{4\pi^2}}=\sqrt{\frac{4\pi^2d^2-l^2}{4\pi^2}}=\frac{\sqrt{4\pi^2d^2-l^2}}{2\pi}$

Вернемся к формуле объема конуса и запишем площадь основания через ее радиус:

$V_{konusa}=\frac{1}{3}S_{osn}\cdot visota=\frac{1}{3}\cdot \pi\cdot {radius}^2\cdot visota$

В ходе решения были найдены значения радиуса и высоты. Подставим их в конечную формулу:

$V_{konusa}=\frac{1}{3}\cdot \pi\cdot {ON}^2\cdot SO=\frac{1}{3}\cdot \pi\cdot {\left(\frac{l}{2\pi}\right)}^2\cdot \frac{\sqrt{4\pi^2d^2-l^2}}{2\pi}=$

$=\frac{1}{3}\cdot \pi\cdot \frac{l^2}{4\pi^2}\cdot \frac{\sqrt{4\pi^2d^2-l^2}}{2\pi}=\frac{\pi l^2}{24\pi^3}\cdot \sqrt{4\pi^2d^2-l^2}=$

$=\frac{l^2}{24\pi^2}\cdot \sqrt{4\pi^2d^2-l^2}$

Ответ. $\frac{l^2}{24\pi^2}\cdot \sqrt{4\pi^2d^2-l^2}$ .

Длина образующей конуса

Пожалуйста, зарегистрируйтесь или войдите, чтобы добавить ответ.