Диагональ параллелограмма делит его углы пополам

У ромба один из признаков указывает на то, что его диагонали делят углы ромба пополам.
Признак сформулирован в виде теоремы:
Если диагональ параллелограмма делит его углы пополам, то этот параллелограмм – ромб.
Докажем признак.
 
Доказательство.
Согласно признаку есть параллелограмм, у которого одна диагональ делит один из углов пополам.
Необходимо доказать, что у этого параллелограмма все стороны будут равными, поскольку именно этот признак указывает на то, что данная фигура является ромбом.
Рассмотрим ромб ABCD. Построим диагональ BD, которая делит угол B на два равных угла ABD и CBD.

Согласно определению параллелограмма его противоположные стороны параллельны, то есть сторона AD параллельна стороне BC. В таком случае диагональ BD является для данных прямых секущей. Получаем, что угол ABD равен углу CDB, а угол CBD равен углу ADB как внутренние накрест лежащие.
Согласно условию углы ABD и CBD равны, а это значит, что углы ADB и CDB также равны.
Следовательно, мы доказали, что если в параллелограмме диагональ делит один из углов пополам, то она делит на два равных угла и противоположный угол.
Все четыре угла, на которые разбивает диагональ параллелограмма его противоположные углы, равны. То есть у параллелограмма равны кроме внутренних накрест лежащих и односторонние углы при параллельных прямых и секущей.
Рассмотрим треугольник ABD.
Углы AВD и BDA равны. Следовательно, данный треугольник является равнобедренным с основанием BD и равными боковыми сторонами AB и AD. Этим мы доказали, что при делении диагональю угла параллелограмма пополам его соседние стороны также равны между собой.
Противоположные стороны параллелограмма равны. Таким образом, стороны AB и CD равны и стороны AD и BC равны. Но также стороны AB и AD равны. Следовательно, все стороны параллелограмма равны, а это признак ромба.
Утверждение доказано.