cosx = cosy

DWQA Questions › cosx = cosy

0 +1 -1

Asya Админ. спросил 7 лет назад

Здравствуйте!
Помогите разобраться:
если cos x = cos y, то значит ли это что x=y?
Спасибо!

1 ответ

0 +1 -1

Asix Админ. ответил 7 лет назад

Это всего лишь один из правильных ответов, а это значит, что он неполный. Разберемся как решать подобные уравнения более подробно.
Во-первых, чтобы понять сколько решений имеет это уравнение можно представить себе графики двух функций косинус с разными аргументами. Точки, в которых они будут пересекаться, и будут корнями этого уравнения. Поэтому нельзя ограничиться лишь решением х = у.
Разберемся в ходе размышлений по нахождению корней заданного уравнения.
Сначала выполним перенос всех слагаемых в левую часть уравнения:

${\cos x\ }-{\cos y\ }=0.$

Получилась разница косинусов, для раскрытия которой воспользуемся следующей формулой:

${\cos x\ }-{\cos y\ }=-2{\sin \frac{x+y}{2}\ }{\sin \frac{x-y}{2}\ }.$

Перепишем уравнение:

$-2{\sin \frac{x+y}{2}\ }{\sin \frac{x-y}{2}\ }=0.$

Сократим на минус два:

${\sin \frac{x+y}{2}\ }{\sin \frac{x-y}{2}\ }=0.$

Произведение двух тригонометрических функций равно нулю. Это возможно только в том случае, когда или одна, или вторая функция будет равна нулю. Поэтому:
${\sin \frac{x+y}{2}\ }=0$ или ${\sin \frac{x-y}{2}\ }=0$ .
Функция синус равна нулю при аргументах, равных 0, Пи/2, Пи и т.д. Запишем в общем виде:

$\frac{x+y}{2}=\pi z;$

$\frac{x-y}{2}=\pi r.$

Получаем ответ в виде объединения решений:

$x+y=2 \pi z;$

$x-y=2 \pi r.$

Здесь переменные r и z — любые целые числа.
Объединение этих корней и будет решением уравнения.

cosx = cosy

Пожалуйста, зарегистрируйтесь или войдите, чтобы добавить ответ.