cos2x = sinx – cosx

DWQA Questions › cos2x = sinx – cosx

0 +1 -1

Asya Админ. спросил 7 лет назад

Здравствуйте!
Помогите решить тригонометрическое уравнение cos2x = sinx – cosx.
Спасибо за помощь! Очень на нее надеюсь!

1 ответ

0 +1 -1

Asix Админ. ответил 7 лет назад

При решении тригонометрических уравнений типа cos2x = sinx — cosx первым делом нужно попытаться привести все его члены к одному аргументу.
Как видно из нашего уравнения, оно содержит два вида аргументов: х и 2х.
Проанализируем тригонометрические функции, которые содержат эти аргументы.
Тригонометрических функций с аргументом х всего две, а с аргументом 2х — одна. Причем функцию косинус от 2х можно записать через тригонометрические функции от х. Для этого используем формулу двойного угла. Подставив значение косинуса 2х, запишем:

${\left({\cos x\ }\right)}^2-{\left({\sin x\ }\right)}^2={\sin x\ }-{\cos x\ }.$

Левая часть уравнения содержит разницу квадратов, которую раскроем по формулам сокращенного умножения, и перенесем все члены уравнения в одну из частей уравнения, после чего возьмем слагаемые из правой части в скобки, поставив перед ними знак «плюс»:

$\left({\cos x\ }+{\sin x\ }\right)\left({\cos x\ }-{\sin x\ }\right)+\left({\cos x\ }-{\sin x\ }\right)=0.$

Рассмотрев уравнение, видим, что в обоих слагаемых можно вынести за скобки разницу функций косинус и синус:

$\left({\cos x\ }-{\sin x\ }\right)\left({\cos x\ }+{\sin x\ }+1\right)=0.$

Получили, что произведение двух выражений в скобках равно нулю. А это возможно лишь в том случае, когда или один, или второй множитель будет равен нулю.
Первым уравнением будет:

${\cos x\ }-{\sin x\ }=0.$

Корни первого уравнения можно получить, построив графики обеих функций синус и косинус. Точка, в которой они пересекутся, и будет его решением. Получим:

$x=\frac{\pi}{4}+\pi t.$

Найдем решение следующего равенства:

${\cos x\ }+{\sin x\ }=-1;$

${\sin \left(\frac{\pi}{4}+x\right)\ }=-\frac{\sqrt{2}}{2}.$

Решением будет:

$x={\left(-1\right)}^{t+1}\cdot \frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{4}+\pi t.$

Ответ. Корни уравнения $x=\frac{\pi}{4}+\pi t$ либо x $={\left(-1\right)}^{t+1}\cdot \frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{4}+\pi t$ , r — целое число.

cos2x = sinx – cosx

Пожалуйста, зарегистрируйтесь или войдите, чтобы добавить ответ.