cos^2 (5) – sin^2 (5)

DWQA Questions › cos^2 (5) – sin^2 (5)

0 +1 -1

Asya Админ. спросил 6 лет назад

Здравствуйте!
Помогите вычислить значение выражения:
(cos^2 (5) – sin^2 (5)) / (sin (40) cos (40)).
Спасибо!

1 ответ

0 +1 -1

Asix Админ. ответил 6 лет назад

Задание.
Вычислить значение выражения:

$\frac{{{\cos }^2 5^o\ }-{{\sin }^2 5^o\ }}{{\sin 40^o\ }\cdot {\cos 40^o\ }}$

Решение.
Под знаками тригонометрических функций стоят такие значения углов, которые не найдешь в таблицах значений синусов и косинусов. В таких случаях лучше всего использовать тригонометрические тождества.
Рассмотрим числитель. Разница квадратов косинуса и синуса встречается в уравнении косинуса двойного угла:

${{\cos }^2 a\ }-{{\sin }^2 a\ }={\cos 2a\ }$

Используя эту формулу, перепишем числитель дроби:

$\frac{{{\cos }^2 5^o\ }-{{\sin }^2 5^o^o\ }}{{\sin 40^o\ }\cdot {\cos 40^o\ }}=\frac{{\cos \left(2\cdot 5^o\right)\ }}{{\sin 40^o\ }\cdot {\cos 40^o\ }}=$

Произведение синуса и косинуса одного аргумента в знаменателе дроби напоминает формулу синуса двойного угла, только не хватает множителя 2. Поэтому домножим числитель и знаменатель дроби на 2 и воспользуемся формулой:

${\sin 2a\ }=2{\sin a\ }{\cos a\ }$

$=\frac{2\cdot {\cos \left(2\cdot 5^o\right)\ }}{2\cdot {\sin 40^o\ }\cdot {\cos 40^o\ }}=\frac{2{\cos 10^o\ }}{{\sin \left(2\cdot 40^o\right)\ }}=\frac{2{\cos 10\ }}{{\sin 80\ }}=$

В числителе получившейся дроби используем формулу приведения, которая поможет перейти от косинуса 10 градусов к синусу 80:

${\cos 10^o\ }={\cos \left(90^o-80^o\right)\ }={\sin 80^o\ }$

Подставим в решение данную запись:

$=\frac{2{\cos \left(90^o-80^o\right)\ }}{{\sin 80^o\ }}==\frac{2{\sin 80^o\ }}{{\sin 80^o\ }}=2$

Ответ. 2.

С помощью подобных тригонометрических тождеств вычисляются значения подобных выражений, особенно, если в качестве аргументов стоят не табличные значения.

cos^2 (5) – sin^2 (5)

Пожалуйста, зарегистрируйтесь или войдите, чтобы добавить ответ.