Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Главная Вопросы 5 sin x + cos x = 5

5 sin x + cos x = 5

DWQA Questions › 5 sin x + cos x = 5

0 +1 -1

Asya Админ. спросил 6 лет назад

Здравствуйте!
Помогите решить уравнение:
5 sin x + cos x = 5.
Спасибо!

1 ответ

0 +1 -1

Asix Админ. ответил 6 лет назад

Задание.
Решить уравнение:
5 sin x + cos x = 5.

Решение.
Имеем уравнение с двумя тригонометрическими функциями, но от одной неизвестной переменной. Чтобы его решить, нужно от двух функций перейти к одной, причем не имеет значения, будет ли эта функция одной из уже присутствующих в уравнении. В данном случае будем использовать формулы синуса и косинуса двойного угла через тангенс, которые позволят перейти в уравнении от двух функций синус и косинус к одной — тангенс:

${\sin 2x\ }=\frac{{\rm 2\ tg}\ x}{1+{{\rm tg}\ }^2x}$

${\cos 2x\ }=\frac{{\rm 1-}{{\rm tg}\ }^2x}{1+{{\rm tg}\ }^2x}$

Подставим вместо синуса и косинуса от х соответствующие им значения через тангенс от х/2:

$5{\sin x\ }+{\cos x\ }=5$

$5\cdot \frac{{\rm 2\ tg}\ \frac{x}{2}}{1+{{\rm tg}\ }^2\frac{x}{2}}+\frac{{\rm 1-}{{\rm tg}\ }^2\frac{x}{2}}{1+{{\rm tg}\ }^2\frac{x}{2}}=5$

Преобразуем полученное уравнение, записав левую часть под знаком одной дроби:

$\frac{{\rm 10\ tg}\ \frac{x}{2}+{\rm 1-}{{\rm tg}\ }^2\frac{x}{2}}{1+{{\rm tg}\ }^2\frac{x}{2}}=5$

Избавимся от дроби, умножив обе части уравнения на знаменатель:

${\rm 10\ tg}\ \frac{x}{2}+{\rm 1-}{{\rm tg}\ }^2\frac{x}{2}=5\cdot \left(1+{{\rm tg}\ }^2\frac{x}{2}\right)$

${\rm 10\ tg}\ \frac{x}{2}+{\rm 1-}{{\rm tg}\ }^2\frac{x}{2}=5+5{{\rm tg}\ }^2\frac{x}{2}$

Перенесем все слагаемые в одну часть уравнения и приведем подобные:

$6{{\rm tg}\ }^2\frac{x}{2}-{\rm 10\ tg}\ \frac{x}{2}+4=0$

Сократим уравнение на 2:

$3{{\rm tg}\ }^2\frac{x}{2}-5{\rm \ tg}\ \frac{x}{2}+2=0$

Получили квадратное уравнение, для решения которого выполним замену:

${\rm tg}\ \frac{x}{2}=t$

Применим замену:

$3{t\ }^2-5{\rm \ t}+2=0$

$D={\left(-5\right)}^2-4\cdot 3\cdot 2=25-24=1$

$t_1=\frac{5-1}{2\cdot 3}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$

$t_2=\frac{5+1}{2\cdot 3}=\frac{6}{6}=1$

Вернемся от замены к исходной функции и решим поочередно оба уравнения.
Первое уравнение:

${\rm tg}\ \frac{x}{2}=\frac{2}{3}$

$\frac{x}{2}={\rm arctg}\ \frac{2}{3}+\pi n$

$x=2\ {\rm arctg}\ \frac{2}{3}+2\pi n$

Второе уравнение:

${\rm tg}\ \frac{x}{2}=1$

$\frac{x}{2}={\rm arctg}\ 1+\pi n$

$\frac{x}{2}=\frac{\pi}{4}+\pi n$

$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n$

Ответ. $x=2\ {\rm arctg}\ \frac{2}{3}+2\pi n$ , $x=\frac{\pi}{2}+2\pi n$ , n — любое целое число.

Пожалуйста, зарегистрируйтесь или войдите, чтобы добавить ответ.

© SolverBook - онлайн сервисы для учебы, 2015

Копирование материалов с сайта возможно только с разрешения
администрации портала и при наличие активной ссылки на источник.

Почта для связи: info@ru.solverbook.com

Выберите язык:

Сервисы

SolverBook