Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Главная Вопросы 5 * sin (2x) – 11 * (sin (x) + cos(x)) + 7 = 0

5 * sin (2x) – 11 * (sin (x) + cos(x)) + 7 = 0

DWQA Questions › 5 * sin (2x) – 11 * (sin (x) + cos(x)) + 7 = 0

0 +1 -1

Asya Админ. спросил 6 лет назад

Здравствуйте!
Помогите в решении уравнения:
5 * sin (2x) – 11 * (sin (x) + cos(x)) + 7 = 0.
Спасибо!

1 ответ

0 +1 -1

Asix Админ. ответил 6 лет назад

Задание.
Решить уравнение:
5 * sin (2x) — 11 * (sin (x) + cos(x)) + 7 = 0.

Решение.
Решение данного уравнения начнем с замены суммы синуса и косинуса какой-либо переменной:

${\sin x\ }+{\cos x\ }=r$

Возведем обе части полученного уравнения в квадрат:

$r^2={\left({\sin x\ }+{\cos x\ }\right)}^2=$

Раскроем скобки, используя одну из формул сокращенного умножения:

$={{\sin }^2 x\ }+2{\sin x\ }{\cos x\ }+{{\cos }^2 x\ }=$

По основному тригонометрическому тождеству сумма квадратов синуса и косинуса равна единице. Запишем:

$=1+2{\sin x\ }{\cos x\ }=$

Двойное произведение синуса и косинуса также можно свернуть по формуле синуса двойного угла:

$=1+{\sin 2x\ }$

Итак, получили в результате уравнение:

$r^2=1+{\sin 2x\ }$

Выразим из него функцию синус:

${\sin 2x\ }=r^2-1$

Подставим это значение в исходное уравнение:

$5{\sin 2x\ }-11\cdot \left({\sin x\ }+{\cos x\ }\right)+7=0$

$5\cdot \left(r^2-1\right)-11\cdot r+7=0$

Раскроем скобки и решим квадратное уравнение, вычислив его дискриминант:

$5r^2-5-11r+7=0$

$5r^2-11r+2=0$

$D={\left(-11\right)}^2-4\cdot 5\cdot 2=121-40=81$

Найдем корни уравнения через дискриминант:

$r_1=\frac{11-\sqrt{81}}{2\cdot 5}=\frac{11-9}{10}=\frac{1}{5}$

$r_2=\frac{11+\sqrt{81}}{2\cdot 5}=\frac{11+9}{10}=2$

Вычислив корни, вернемся от переменной r к сумме тригонометрических функций.
Рассмотрим первый случай:

${\sin x\ }+{\cos x\ }=r_1$

${\sin x\ }+{\cos x\ }=\frac{1}{5}$

Введем вспомогательный угол:

$\sqrt{2}\cdot \left(\frac{1}{\sqrt{2}}{\sin x\ }+\frac{1}{\sqrt{2}}{\cos x\ }\right)=\frac{1}{5}$

$\frac{1}{\sqrt{2}}{\sin x\ }+\frac{1}{\sqrt{2}}{\cos x\ }=\frac{1}{5\sqrt{2}}$

Заменим $\frac{1}{\sqrt{2}}$ на соответствующие тригонометрические функции для того, чтобы в результате можно было использовать формулу синуса суммы:

${\cos \frac{\pi}{4}\ }{\sin x\ }+{\sin \frac{\pi}{4}\ }{\cos x\ }=\frac{1}{5\sqrt{2}}$

${\sin \left(\frac{\pi}{4}+x\right)\ }=\frac{1}{5\sqrt{2}}$

$x+\frac{\pi}{4}={\left(-1\right)}^k{\arcsin \frac{1}{5\sqrt{2}}\ }+\pi k$

$x={\left(-1\right)}^k{\arcsin \frac{1}{5\sqrt{2}}\ }-\frac{\pi}{4}+\pi k$

Рассмотрим второй случай:

${\sin x\ }+{\cos x\ }=r_2$

${\sin x\ }+{\cos x\ }=2$

Аналогично предыдущему случаю, введем вспомогательный угол:

$\sqrt{2}\cdot \left(\frac{1}{\sqrt{2}}{\sin x\ }+\frac{1}{\sqrt{2}}{\cos x\ }\right)=2$

$\frac{1}{\sqrt{2}}{\sin x\ }+\frac{1}{\sqrt{2}}{\cos x\ }=\frac{2}{\sqrt{2}}$

$\frac{1}{\sqrt{2}}{\sin x\ }+\frac{1}{\sqrt{2}}{\cos x\ }=\sqrt{2}$

Заменим $\frac{1}{\sqrt{2}}$ :

${\cos \frac{\pi}{4}\ }{\sin x\ }+{\sin \frac{\pi}{4}\ }{\cos x\ }=\sqrt{2}$

${\sin \left(\frac{\pi}{4}+x\right)\ }=\sqrt{2}>1$

Известно, что синус определен на промежутке от —1 до 1, поэтому данное уравнение решений иметь не будет.

Ответ. $x={\left(-1\right)}^k{\arcsin \frac{1}{5\sqrt{2}}\ }-\frac{\pi}{4}+\pi k$ , $k\in Z$ .

Пожалуйста, зарегистрируйтесь или войдите, чтобы добавить ответ.

© SolverBook - онлайн сервисы для учебы, 2015

Копирование материалов с сайта возможно только с разрешения
администрации портала и при наличие активной ссылки на источник.

Почта для связи: info@ru.solverbook.com

Выберите язык:

Сервисы

SolverBook