2sin2x = 4cosx – sinx + 1

DWQA Questions › 2sin2x = 4cosx – sinx + 1

0 +1 -1

Asya Админ. спросил 7 лет назад

Здравствуйте!
Помогите решить тригонометрическое уравнение:
2 sin 2x = 4 cos x – sin x + 1.
Нужно подробное решение со всеми объяснениями, чтобы разобраться можно было.
Спасибо!

1 ответ

0 +1 -1

Asix Админ. ответил 7 лет назад

Уравнение, которое содержит только две тригонометрические функции — синус и косинус — нужно свести или к одной из функций, или к их произведению.
Решение уравнения 2 sin 2x = 4 cos x — sin x + 1 начнем с того, что обратим внимание на аргументы тригонометрических функций. Большинство функций имеют аргумент х, а одна из функций синус от аргумента 2х. Таким образом, можно воспользоваться формулой синуса 2х для перехода в уравнении к одинаковым аргументам. При этом все слагаемые перенесем в левую часть:

$4\cdot {\sin x\ }\cdot {\cos x\ }-4{\cdot \cos x\ }+{\sin \ x\ }-1=0.$

Сгруппируем слагаемые по два и вынесем общий множитель у первых двух:

$4\cdot {\cos x\ }\cdot \left({\sin x\ }-1\right)+\left({\sin x\ }-1\right)=0.$

После произведенных преобразований можно вынести еще один множитель, который является общим:

$\left(4\cdot {\cos x\ }+1\right)\cdot \left({\sin x\ }-1\right)=0.$

Получили уравнение, в котором произведение двух выражений равно нулю. Следовательно, одно из этих выражений также должно быть равным нулю. Запишем:
Первым уравнением является ${\sin x\ }-1=0$ ,
вторым уравнением будет $4\cdot {\cos x\ }+1=0$ .
Таким образом, от одного сложного тригонометрического уравнения перешли к двум простым.
Решим первое:

${\sin x\ }=1.$

Решением будут корни:
$x=\frac{\pi}{2}+2 \pi z$ , где z может принимать значение любого из целых чисел.
Решим второе ур-ние:

${\cos x\ }=-\frac{1}{4}.$

Решение будет множеством корней:

$x=\pm {\arccos \left(-\frac{1}{4}\right)+2 \pi r\ }.$

При использовании формул приведения получим:
$x=\pi \pm {\arccos \frac{1}{4}+2 \pi r\ }$ , где r может принимать значение любого из целых чисел.

Ответ. $x=\frac{\pi}{2}+2 \pi z$ или $x=\pi \pm {\arccos \frac{1}{4}+2 \pi r\ }$ , z и r — целые.

Итак, при решении заданного тригонометрического уравнения используется переход к одинаковому аргументу, что позволило вынести общие множители и свести уравнение к произведению тригонометрических выражений, равному нулю. Остается только решить два простых тригонометрических уравнения, объединение которых и является результатом решения исходного уравнения.

2sin2x = 4cosx – sinx + 1

Пожалуйста, зарегистрируйтесь или войдите, чтобы добавить ответ.