(2/5) ^ cos x + (5/2) ^ cos x = 2

DWQA Questions › (2/5) ^ cos x + (5/2) ^ cos x = 2

0 +1 -1

Asya Админ. спросил 7 лет назад

Здравствуйте!
Как решается уравнение (2/5) ^ cos x + (5/2) ^ cos x = 2? Помогите разобраться!
Спасибо!

1 ответ

0 +1 -1

Asix Админ. ответил 7 лет назад

Задание.
Решить уравнение (2/5) \^{} cos x + (5/2) \^{} cos x = 2.

Решение.
Запишем уравнение в более привычном виде, к тому же так будет очевиднее выбор варианта решения:

${\left(\frac{2}{5}\right)}^{{\cos x\ }}+{\left(\frac{5}{2}\right)}^{{\cos x\ }}=2$

В первых двух слагаемых основания степеней разные. Преобразуем уравнение так, чтобы получить в основаниях степеней одинаковые выражения. Для этого воспользуемся свойствами дробей и свойствами степеней. Запишем:

${\left(\frac{2}{5}\right)}^{{\cos x\ }}+{\left(\frac{2}{5}\right)}^{-{\cos x\ }}=2$

Выполним замену выражения ${\left(\frac{2}{5}\right)}^{{\cos x\ }}$ через любую переменную, например, у. Запишем уравнение с учетом выполненной замены:

$y+\frac{1}{y}-2=0$

Избавимся от знаменателя в уравнении. Для этого домножим все члены уравнения на этот знаменатель:

$y^2-2y+1=0$

Квадратное уравнение решим с помощью дискриминанта:

$D=4-4\cdot 1\cdot 1=0$

Поскольку дискриминант равен нулю, значит корень у данного уравнения только один:

$y=\frac{2}{2\cdot 1}=1$

Вернемся от замены к исходному выражению и получим новое уравнение, которое нужно решить:

${\left(\frac{2}{5}\right)}^{{\cos x\ }}=1$

Зная свойства степеней, упростить решение данного уравнения несложно. Известно, что единице равно число в нулевой степени. Следовательно, степень числа 2/5 равна нулю:

${\cos x\ }=0$

Выберем один из способов решения данного уравнения — использование таблицы значений косинусов от основных углов. Согласно таблице косинус обращается в ноль при значениях аргумента, равных $\frac{\pi}{2}$ через каждые $\pi$ значений. Следовательно, его решением будут аргументы:
$x=\frac{\pi}{2}+\pi h$ , h — любое из множества целых чисел.

Ответ. $x=\frac{\pi}{2}+\pi h$ , h — любое из множества целых чисел.

(2/5) ^ cos x + (5/2) ^ cos x = 2

Пожалуйста, зарегистрируйтесь или войдите, чтобы добавить ответ.