2 + cos x = 2 tg x / 2

DWQA Questions › 2 + cos x = 2 tg x / 2

0 +1 -1

Asya Админ. спросил 7 лет назад

Здравствуйте!
Помогите найти решение уравнения:
2 + cos x = 2 tg x / 2.
Спасибо!

1 ответ

0 +1 -1

Asix Админ. ответил 7 лет назад

Задание.
Найти решение уравнения:
2 + cos x = 2 tg x / 2.

Решение.
Первым делом перед решением тригонометрических уравнений нужно обратить внимание на тригонометрические функции, которые входят в уравнение, а особенно на аргументы этих функций.
Тригонометрические функции, которые входят в заданное уравнение, — это косинус и тангенс. Сразу же отметим, что эти две функции можно выразить одну через другую. Что же касается аргументов, то они разные.
Обратим внимание на тригонометрические тождества, которые позволяют преобразовать тригонометрическое уравнение. Будем использовать формулу, с помощью которой выразим косинус через тангенс:

$2+\frac{1-{{\rm tg}\ }^2\frac{x}{2}}{1+{{\rm tg}\ }^2\frac{x}{2}}={\rm 2tg}\ \frac{x}{2}.$

Избавимся от дроби, умножив уравнение на знаменатель, а затем, раскрыв скобки, перенесем все слагаемые влево и приведем подобные слагаемые уравнения:

${\rm 2}{{\rm tg}}^3\ \frac{x}{2}-{{\rm tg}\ }^2\frac{x}{2}+{\rm 2tg}\ \frac{x}{2}-3=0.$

Попробуем разложить на множители:

$\left({\rm tg}\ \frac{x}{2}-1\right)\left({\rm 2}{{\rm tg}}^2\ \frac{x}{2}+{\rm tg}\ \frac{x}{2}+3\right)=0.$

Следовательно, каждый из множителей может быть равен нулю.
Решением первого уравнения ${\rm tg}\ \frac{x}{2}=1$ будет:

$x=\frac{\pi}{2}+2 \pi r.$

Второе уравнение является квадратным, к тому же не имеющим решения.

Ответ. Корнями уравнения являются $\frac{\pi}{2}+2 \pi r$ , r принадлежит множеству целых чисел.

Для успешного решения уравнения самое главное правильно подобрать формулу, с помощью которой будет выполнено его преобразование. Для этого лучше всего иметь весь набор формул под рукой при решении заданий по тригонометрии. Также не стоит забывать о других формулах из курса математики, например, о формулах сокращенного умножения, правилах работы с дробями и т.д.

2 + cos x = 2 tg x / 2

Пожалуйста, зарегистрируйтесь или войдите, чтобы добавить ответ.