15 ^ cosx = 3 ^cosx * 5 ^ sinx

DWQA Questions › 15 ^ cosx = 3 ^cosx * 5 ^ sinx

0 +1 -1

Asya Админ. спросил 7 лет назад

Здравствуйте!
Затрудняюсь с решением уравнения 15 ^ cosx = 3 ^ cosx * 5 ^ sinx.
Помогите, пожалуйста!
Спасибо!

1 ответ

0 +1 -1

Asix Админ. ответил 7 лет назад

Решение.
Запишем тригонометрическое уравнение в более удобном для восприятия виде и перенесем все в левую его часть:

${15}^{{\cos x\ }}-3^{{\cos x\ }}\cdot 5^{{\sin x\ }}=0.$

Чтобы получить произведение из двух простых выражений, выполним вынесение первого слагаемого за скобки:

${15}^{{\cos x\ }}\left(1-\frac{1}{5^{{\cos x\ }}}\cdot 5^{{\sin x\ }}\right)=0.$

Выполним деление числителя на знаменатель, тем самым упростив дробь и, воспользовавшись свойствами степеней, преобразуем дробь в степенную функцию:

${15}^{{\cos x\ }}\left(1-5^{{\sin x\ }-{\cos x\ }}\right)=0.$

Поскольку произведение выражений в левой части равны нулю в правой части, то данное уравнение можно разбить на два возможных варианта.
Первое уравнение ${15}^{{\cos x\ }}=0$ не может иметь решений, поскольку число 15 в любой степени всегда будет больше нуля.
Решим второе уравнение, предварительно преобразовав уравнение:

$5^{{\sin x\ }-{\cos x\ }}=1.$

Воспользовавшись снова свойствами степеней, обратим внимание, что если число в степени равно единице, то это возможно только в случае, когда степень равна нулю. Следовательно:

${\sin x\ }-{\cos x\ }=0.$

Данное уравнение можно решить не менее, чем двумя способами. Выберем один из них — разделим уравнение на косинус х:

${\rm tg}\ x=1.$

Данное уравнение — простейшее тригонометрическое уравнение. Запишем его решение:
$x=\frac{\pi}{4}+\pi r$ , r принадлежит Z.

Ответ. $x=\frac{\pi}{4}+\pi r$ .

Итак, при решении степенного уравнения, в степенях которого находятся тригонометрические функции, использовался прием деления на степень с наибольшим основанием, а также свойства степеней. Это дало возможность привести уравнение к произведению выражений, которое равно нулю. Далее решаются полученные более простые уравнения, что в результате при объединении их корней и дает результат решения исходного уравнения.

15 ^ cosx = 3 ^cosx * 5 ^ sinx

Пожалуйста, зарегистрируйтесь или войдите, чтобы добавить ответ.