Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Простейшие тригонометрические уравнения

К простейшим тригонометрическим уравнениям относятся уравнения вида

    \[\sin x=a,\    \cos x=a,\   \text{tg}\,x=a,\   \text{ctg}x=a\]

Решение простейших тригонометрических уравнений

Рассмотрим подробнее каждое из этих уравнений и их решение.

Уравнение вида \sin x=a. Так как -1\le \sin x\le 1 для любого x, то при a>1 и a<-1 уравнение \sin x=a не имеет корней. При -1\le a\le 1, корни этого уравнения находятся по формуле

    \[x={{\left( -1 \right)}^{k}}\arcsin a+\pi k,\quad k\in Z\]

Особые случаи

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Решить уравнение \sin \pi x=-1
Решение Это уравнение является частным случаем уравнения \sin x=a при a=-1, поэтому

    \[\pi x=-\frac{\pi }{2}+2\pi k,\quad k\in Z\]

Выразим x, для этого разделим левую и правую часть последнего выражения на \pi:

    \[\frac{\pi x}{\pi }=-\frac{\pi }{2\pi }+\frac{2\pi k}{\pi },\quad k\in Z \]

    \[x=-\frac{1}{2}+2k,\quad k\in Z\]

Ответ x=-\frac{1}{2}+2k,\quad k\in Z
ПРИМЕР 2
Задание Решить уравнение 2\sin 2x3=0
Решение Приведем данное уравнение к виду \sin x=a:

    \[2\sin 2x=3 \]

    \[\sin 2x=\frac{3}{2}\]

Так как левая часть полученного уравнения \frac{3}{2}=1,5>1, то это уравнение не имеет решений.

Ответ Решений нет.

Уравнение вида \cos x=a. Так как -1\le \cos x\le 1 для любого x, то при a>1 и a<-1 уравнение \cos x=a корней не имеет. При -1\le a\le 1, корни этого уравнения находятся по формуле

    \[x=\pm \arccos a+2\pi k,\quad k\in Z\]

Особые случаи:

ПРИМЕР 3
Задание Решить уравнение

    \[ \cos x=\frac{\sqrt{3}}{2} \]

Решение Это простейшее уравнение вида \cos x=a.

Правая часть этого уравнения -1<\frac{\sqrt{3}}{2}<1, поэтому его решение найдем по формуле

    \[x=\pm \arccos a+2\pi k,\quad k\in Z\]

Получим

    \[x=\pm \arccos \frac{\sqrt{3}}{2}+2\pi k,\quad k\in Z \]

    \[x=\pm \frac{\pi }{6}+2\pi k,\quad k\in Z\]

Ответ x=\pm \frac{\pi }{6}+2\pi k,\quad k\in Z
ПРИМЕР 4
Задание Решить уравнение \cos 3x=3
Решение Косинус – функция ограниченная и лежит в пределах -1\le \cos 3x\le 1, поэтому данное равенство не имеет смысла.
Ответ Решений нет.

Простейшие тригонометрические уравнения с тангенсами и котангенсами

Уравнение вида \text{tg}x=a. Для любого действительного a на промежутке \left( -\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right) существует единственный угол \alpha, для которого \text{tg}\alpha =a. Это угол \alpha =\text{arctg}a. Учитывая периодичность функции y=\text{tg}\,x, получим формулы для нахождения корней уравнения \text{tg}\,x=a:

    \[x=\text{arctg}a+\pi k,\quad k\in Z\]

ПРИМЕР 5
Задание Решить уравнение 3\text{tg}\,\left( 2x-\frac{\pi }{6} \right)+\sqrt{3}=0
Решение Выразим из этого равенства тангенс

    \[3\text{tg}\,\left( 2x-\frac{\pi }{6} \right)=-\sqrt{3} \]

    \[\text{tg}\,\left( 2x-\frac{\pi }{6} \right)=-\frac{\sqrt{3}}{3}\]

В последнем равенстве положив t=2x-\frac{\pi }{6}, получим простейшее тригонометрическое уравнение \text{tg}\,t=a, корни которого вычисляются по формуле

    \[t=\text{arctg}a+\pi k,\quad k\in Z\]

Тогда

    \[t=\text{arctg}\left( -\frac{\sqrt{3}}{3} \right)+\pi k,\quad k\in Z \]

    \[t=-\frac{\pi }{6}+\pi k,\quad k\in Z\]

Сделаем обратную замену

    \[2x-\frac{\pi }{6}=-\frac{\pi }{6}+\pi k,\quad k\in Z\]

и выразим из полученного уравнения x:

    \[2x=-\frac{\pi }{6}+\frac{\pi }{6}+\pi k,\quad k\in Z \]

    \[2x=\pi k,\quad k\in Z \]

поделим обе части последнего равенства на 2, тогда окончательно получим

    \[x=\frac{\pi k}{2},\quad k\in Z\]

Ответ x=\frac{\pi k}{2},\quad k\in Z

Уравнение вида \text{ctg}\,x=a. Для любого действительного a на промежутке \left( 0;\pi  \right) существует единственный угол \alpha, для которого \text{ctg}\,\alpha =a. Это угол \alpha =\text{arcctg}a. Учитывая периодичность функции y=\text{ctg}\,x, получим формулы для нахождения корней уравнения \text{ctg}\,x=a:

    \[x=\text{arcctg}a+\pi k,\quad k\in Z\]

ПРИМЕР 6
Задание Решить уравнение

    \[ \text{ctg}\left( 5x+\frac{\pi }{4} \right)=\frac{1}{\sqrt{3}} \]

Решение Ведем замену t=5x+\frac{\pi }{4}, тогда исходное уравнение преобразуется в простейшее тригонометрическое уравнение \text{ctg}\,t=\frac{1}{\sqrt{3}}, корни которого вычисляются по формуле

    \[t=\text{arcctg}\frac{1}{\sqrt{3}}+\pi k,\quad k\in Z\]

Тогда

    \[t=\frac{\pi }{3}+\pi k,\quad k\in Z\]

Сделаем обратную замену

    \[5x+\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{3}+\pi k,\quad k\in Z\]

и выразим из полученного уравнения x:

    \[5x=\frac{\pi }{3}-\frac{\pi }{4}+\pi k,\quad k\in Z \]

    \[5x=\frac{\pi }{12}+\pi k,\quad k\in Z \]

поделим обе части последнего равенства на 5, тогда окончательно получим

    \[x=\frac{\pi }{60}+\frac{\pi k}{5},\quad k\in Z\]

Ответ x=\frac{\pi }{60}+\frac{\pi k}{5},\quad k\in Z

Приведение тригонометрических уравнений к простейшим

Примеры тригонометрических уравнений, которые приводятся к простейшим тригонометрическим уравнениям с помощью элементарных преобразований или тригонометрических формул.

ПРИМЕР 7
Задание Решить уравнение 1-4{{\sin }^{2}}x=0
Решение Распишем разность квадратов в правой части данного уравнения

    \[\left( 1-2\sin x \right)\left( 1+2\sin x \right)=0\]

Таким образом, решение данного уравнения сводится к решению следующей совокупности двух простейших тригонометрических уравнений:

    \[\left[ \begin{matrix}    1-2\sin x=0  \\    1+2\sin x=0  \\ \end{matrix} \right.\quad \Rightarrow \quad \left[ \begin{matrix}    2\sin x=1  \\    2\sin x=-1  \\ \end{matrix} \right.\quad \Rightarrow\]

    \[ \left[ \begin{matrix}    \sin x=\frac{1}{2}  \\    \sin x=-\frac{1}{2}  \\ \end{matrix} \right.\quad \Rightarrow \]

    \[\Rightarrow \quad \left[ \begin{matrix}    x={{\left( -1 \right)}^{k}}\arcsin \left( \frac{1}{2} \right)+\pi k,\ k\in Z  \\    x={{\left( -1 \right)}^{n}}\arcsin \left( -\frac{1}{2} \right)+\pi n,\ n\in Z  \\ \end{matrix} \right.\quad \Rightarrow \quad \left[ \begin{matrix}    x={{\left( -1 \right)}^{k}}\cdot \frac{\pi }{6}+\pi k,\ k\in Z  \\    x={{\left( -1 \right)}^{n}}\cdot \left( -\frac{\pi }{6} \right)+\pi n,\ n\in Z  \\ \end{matrix} \right.\quad \Rightarrow \]

    \[\Rightarrow \quad \left[ \begin{matrix}    x={{\left( -1 \right)}^{k}}\cdot \frac{\pi }{6}+\pi k,\ k\in Z  \\    x={{\left( -1 \right)}^{n+1}}\cdot \frac{\pi }{6}+\pi n,\ n\in Z  \\ \end{matrix} \right\]

Ответ
ПРИМЕР 8
Задание Решить уравнение \sin x+\sin 5x=0
Решение Применим к правой части заданного уравнения формулу суммы синусов:

    \[2\cdot \sin \left( \frac{x+5x}{2} \right)\cdot \cos \left( \frac{x-5x}{2} \right)=0 \]

    \[\sin 3x\cdot \cos \left( -2x \right)=0\]

или

    \[\sin 3x\cdot \cos 2x=0\]

Последнее равенство равносильно совокупности простейших уравнений

    \[\left[ \begin{matrix}    \sin 3x=0  \\    \cos 2x=0  \\ \end{matrix} \right.\quad \Rightarrow \quad \left[ \begin{matrix}    3x=\pi k,\ k\in Z  \\    2x=\frac{\pi }{2}+\pi n,\ n\in Z  \\ \end{matrix} \right.\quad \Rightarrow \quad \left[ \begin{matrix}    x=\frac{\pi k}{3},\ k\in Z  \\    x=\frac{\pi }{4}+\frac{\pi n}{2},\ n\in Z  \\ \end{matrix} \right\]

Ответ