(1 – sin^2 (x))(1 +tg^2 (x)) = 1

DWQA Questions › (1 – sin^2 (x))(1 +tg^2 (x)) = 1

0 +1 -1

Asya Админ. спросил 6 лет назад

Здравствуйте!
Помогите доказать:
(1 – sin^2 (x))(1 +tg^2 (x)) = 1.
Спасибо!

1 ответ

0 +1 -1

Asix Админ. ответил 6 лет назад

Задание.

Доказать тождество:
(1 — sin^2 (x))(1 +tg^2 (x)) = 1.

Доказательство.
Перед началом выполнения доказательства выполним некоторые подготовительные работы.
Рассмотрим основное тригонометрическое тождество:

${{\sin }^2 x\ }+{{\cos }^2 x\ }=1$

Разделим его на ${{\cos }^2 x\ }$ , при этом получим:

$\frac{{{\sin }^2 x\ }+{{\cos }^2 x\ }}{{{\cos }^2 x\ }}=\frac{1}{{{\cos }^2 x\ }}$

$\frac{{{\sin }^2 x\ }}{{{\cos }^2 x\ }}+\frac{{{\cos }^2 x\ }}{{{\cos }^2 x\ }}=\frac{1}{{{\cos }^2 x\ }}$

${{\rm tg}\ }^2x+1=\frac{1}{{{\cos }^2 x\ }}$

Преобразуем правую часть равенства, используя следующую особенность:

$\frac{1}{{{\cos }^n x\ }}={{\sec }^n x\ }$

Теперь равенство будет выглядеть следующим образом:

${{\rm tg}\ }^2x+1={{\sec }^2 x\ }$

Итак, чтобы доказать справедливость заданного равенства, будем использовать выше приведенные формулы и полученные в результате некоторых преобразований результаты.
Необходимо доказать, что:

$\left(1-{{\sin }^2 x\ }\right)\left(1+{{\rm tg}\ }^2x\right)=1$

Доказательство всегда сводится к преобразованию одной из частей равенства (например, левой) к виду другой части (то есть правой). Следовательно, левую часть $\left(1-{{\sin }^2 x\ }\right)\left(1+{{\rm tg}\ }^2x\right)$ равенства необходимо преобразовать таким образом, чтобы получилась единица. Тогда равенство будет доказано.
Для преобразования первого множителя используем снова основное тригонометрическое тождество, из которого выразим эту разность: