1 + sin 2x = sin x + cos x

DWQA Questions › 1 + sin 2x = sin x + cos x

0 +1 -1

Asya Админ. спросил 7 лет назад

Здравствуйте!
Задали решить:
Найти корни уравнения:
1 + sin 2x = sin x + cos x.
Помогите, пожалуйста!
Спасибо!

1 ответ

0 +1 -1

Asix Админ. ответил 7 лет назад

Задание.
Найти корни уравнения:

$1+{\sin 2x\ }={\sin x\ }+{\cos x\ }.$

Решение.
Прежде всего обратим внимание на то, что в уравнении имеем тригонометрические функции от разных аргументов (от х и 2х). необходимо для решения уравнения свести все функции к одному аргументу — к х.
Для этого воспользуемся формулой синуса 2х, а слагаемое 1 представим в виде суммы квадрата синуса и квадрата косинуса. Тогда левая часть уравнения будет иметь вид:

${{\sin }^2 x\ }+{{\cos }^2 x\ }+2{\sin x\ }{\cos x\ }.$

По формулам сокращенного умножения свернем ее в квадрат суммы и получим, что:

${\left({\sin x\ }+{\cos x\ }\right)}^2={\sin x\ }+{\cos x\ }.$

Получили, что два одинаковых выражения в первой и во второй степени равны между собой. Это может быть только в случае, если выражения равны единице или нулю.
Рассмотрим оба варианта:
Вариант первый:
Сумма синуса и косинуса равна 1.
Теперь возведём все во вторую степень и, раскрыв скобки, воспользуемся основным тригонометрическим тождеством:

$2{\sin x\ }{\cos x\ }=0.$

При синус х, равном нулю, решением будет $x=\pi l$ , а при косинус х, равном нулю, — $x=\frac{\pi}{2}+\pi m$ .
Вариант второй:
Сумма синуса и косинуса равна нулю.
Для решения уравнения разделим все его члены на косинус х и получим ур-ние относительно тангенса:

${\rm tg}\ x=-1.$

Это простое тригонометрическое уравнение, корни которого:

$x=-\frac{\pi}{4}+\pi z, z\in N.$

Ответ. Корни уравнения $\pi l$ ; $\frac{\pi}{2}+\pi m$ , $-\frac{\pi}{4}+\pi z$ , $l,\ m,\ z\in N$ .

1 + sin 2x = sin x + cos x

Пожалуйста, зарегистрируйтесь или войдите, чтобы добавить ответ.