(1 + cos 4x) / tg (3п / 4 – 2x)

DWQA Questions › (1 + cos 4x) / tg (3п / 4 – 2x)

0 +1 -1

Asya Админ. спросил 7 лет назад

Здравствуйте!
Задача.
Упростить выражение:
(1 + cos 4x) / tg (3п / 4 – 2x)
Помогите выполнить, пожалуйста.
Спасибо!

1 ответ

0 +1 -1

Asix Админ. ответил 7 лет назад

Задача.
Упростить выражение:
(1 + cos 4x) / tg (3п / 4 — 2x)

Решение.
К числителю дроби применим тригонометрическую формулу косинуса двойного угла, но сначала несколько ее преобразуем, а конкретнее в качестве аргумента х возьмем аргумент 2х, тогда двойным аргументом для 2х будет 4х. запишем выше сказанное в виде формулы:
Косинус двойного угла:

${\cos 2x\ }=2{{\cos }^2 x\ }-1$

Преобразованная формула:

${\cos 4x\ }=2{{\cos }^2 2x\ }-1$

Выразим из полученной формулы выражение, которое стоит в числителе дроби:

$1+{\cos 4x\ }=2{{\cos }^2 2x\ }$

Теперь подставим значение этого выражения в числитель:

$\frac{1+{\cos 4x\ }}{{\rm tg}\ \left(\frac{3\pi}{4}-2x\right)}=\frac{2{{\cos }^2 2x\ }}{{\rm tg}\ \left(\frac{3\pi}{4}-2x\right)}=$

Далее займемся знаменателем. Знаменатель содержит тангенс разности двух аргументов. Воспользуемся соответствующей формулой и распишем знаменатель:

$=\frac{2{{\cos }^2 2x\ }}{\frac{{\rm tg}\ \frac{3\pi}{4}-{\rm tg}\ 2x}{1+{\rm tg}\ \frac{3\pi}{4}\cdot {\rm tg\ 2x}}}=$

Используя таблицу значений тангенса от угла $\frac{3\pi}{4}$ , упростим полученное выражение:

$=\frac{2{{\cos }^2 2x\ }}{\frac{{\rm -}{\rm 1}-{\rm tg}\ 2x}{1-1\cdot {\rm tg\ 2x}}}=$

Вынесем минус перед знаком дроби и перейдем к обычной дроби:

$=-2{{\cos }^2 2x\ }\cdot \frac{{\rm 1-tg}\ 2x}{1+{\rm tg\ 2x}}=$

Полученную дробь преобразуем, переписав тангенс в виде частного функций синус и косинус:

$=-2{{\cos }^2 2x\ }\cdot \frac{{\rm 1-}\frac{{\sin 2x\ }}{{\cos 2x\ }}}{1+\frac{{\sin 2x\ }}{{\cos 2x\ }}}=$

Приведем числитель и знаменатель дроби к одному знаменателю, тем самым упростив полученное выражение:

$=-2{{\cos }^2 2x\ }\cdot \frac{\frac{{\cos 2x\ }-{\sin 2x\ }}{{\cos 2x\ }}}{\frac{{\cos 2x\ }+{\sin 2x\ }}{{\cos 2x\ }}}=-2{{\cos }^2 2x\ }\cdot \frac{{\cos 2x\ }-{\sin 2x\ }}{{\cos 2x\ }+{\sin 2x\ }}=$

$=2{{\cos }^2 2x\ }\cdot \frac{{\sin 2x\ }-{\cos 2x\ }}{{\sin 2x\ }+{\cos 2x\ }}$

Ответ. $2{{\cos }^2 2x\ }\cdot \frac{{\sin 2x\ }-{\cos 2x\ }}{{\sin 2x\ }+{\cos 2x\ }}$ .

(1 + cos 4x) / tg (3п / 4 – 2x)

Пожалуйста, зарегистрируйтесь или войдите, чтобы добавить ответ.