Взаимное расположение прямой и окружности

Взаимное расположение прямой и окружности
Возьмем произвольную окружность с центром в точке О и прямую a.
Если прямая a пройдет через точку O, то она пересечет данную окружность в двух точках K и L, которые являются концами диаметра, лежащего на прямой а.

Если прямая a не будет проходить через центр О окружности, то выполним вспомогательное построение и проведем прямую OH перпендикулярно прямой a и обозначим полученное расстояние от центра окружности до прямой a переменной rasstoyanie. Определим, сколько будет общих точек у прямой a и окружности в зависимости от соотношения между переменной rasstoyanie и radius.
Может быть 3 варианта:

1. rasstoyanie < radius. В таком случае точка H будет лежать в середине круга, который ограничен данной окружностью.

Отложим на прямой а отрезок HD = radius.

В прямоугольном треугольнике OHD гипотенуза OD больше катета HD, поэтому OD > radius. Следовательно, точка D лежит за кругом, который ограничен данной окружностью. Значит, один конец отрезка HD находится в середине круга, а другой – за кругом. Таким образом, на отрезке HD можно обозначить точку A, которая лежит на окружности, то есть OA = radius.

Продлим луч HA и отложим на нем отрезок BН, который равен отрезку AН.

Получены 2 прямоугольных треугольника OHA и OHB, которые равны по двум катетам. Тогда их соответствующие стороны равны: OB = OA = r. Следовательно, B тоже является общей точкой окружности и прямой. Так как 3 точки окружности не могут лежать на одной прямой, то другие общие точки прямой a и окружности не существуют.
Таким образом, если расстояние между центром окружности и прямой меньше от радиуса окружности (rasstoyanie < radius), то у прямой и окружности 2 общие точки.

1. rasstoyanie = radius. Поскольку OH = radius, то точка H принадлежит окружности и, поэтому, является общей точкой для прямой a и окружности.

Для любых других точек прямой a (например, точки и M) наклонная OM больше отрезка OH, то есть OM > OH = radius, и следовательно точка M не принадлежит заданной окружности.
Следовательно, если расстояние между центром окружности и прямой равно радиусу окружности (rasstoyanie = radius), то у прямой и окружности лишь одна общая точка.

1. rasstoyanie > radius. Так как OH > radius, то для любых точек прямой a (например, точки M) выполняется неравенство OM > OH > radius. Таким образом, точка M не принадлежит окружности.

Следовательно, если расстояние между центром окружности и прямой больше от радиуса окружности (rasstoyanie > radius), то у прямой и окружности нет общих точек.