Вычислить пределы используя правило Лопиталя

DWQA Questions › Вычислить пределы используя правило Лопиталя

0 +1 -1

Asya Админ. спросил 7 лет назад

Здравствуйте!
Нужно вычислить пределы, используя правило Лопиталя:

${\mathop{\lim }_{x\to \infty } \frac{13x+17{\ln x\ }}{19x}\ };$

${\mathop{\lim }_{x\to \frac{3\pi}{2}} \frac{7+7{\sin x\ }}{{\left(3\pi-2x\right)}^2}\ }.$

Спасибо!

1 ответ

0 +1 -1

Asix Админ. ответил 7 лет назад

Чтобы вычислить пределы, используя правило Лопиталя, вспомним его сущность:
Если при непосредственной подстановке вместо х значения, к которому он стремится, получают неопределенность вида бесконечность на бесконечность или ноль на ноль, то их можно раскрыть с помощью вычисления вместо функций числителя и знаменателя их производных.

Пример 1.
Найдем ${\mathop{\lim }_{x\to \infty } \frac{13x+17{\ln x\ }}{19x}\ }$ .

Решение.
Подставим вместо х значение, к которому он стремится (то есть $\infty$ ):

${\mathop{\lim }_{x\to \infty } \frac{13x+17{\ln x\ }}{19x}\ }=\frac{\infty }{\infty }.$

В этом случае мы можем воспользоваться правилом Лопиталя и избавиться от этой неопределенности:

${\mathop{\lim }_{x\to \infty } \frac{13x+17{\ln x\ }}{19x}\ }=\frac{\infty }{\infty }={\mathop{\lim }_{x\to \infty } \frac{13+\frac{17}{x}}{19}\ }=\frac{13}{19}.$

Ответ. ${\mathop{\lim }_{x\to \infty } \frac{13x+17{\ln x\ }}{19x}\ }=\frac{13}{19}$ .

Применив правило Лопиталя, можно опять получить неопределенность этих двух видов ( $\frac{\infty }{\infty }$ , $\frac{0}{0}$ ). Тогда это правило можно применять еще сколько угодно раз.

Пример 2.
Найдем ${\mathop{\lim }_{x\to \frac{3\pi}{2}} \frac{7+7{\sin x\ }}{{\left(3\pi -2x\right)}^2}\ }$ .

Решение.
Подставим значение х:

${\mathop{\lim }_{x\to \frac{3\pi}{2}} \frac{7+7{\sin x\ }}{{\left(3\pi-2x\right)}^2}\ }=\frac{7+7{\sin \frac{3\pi}{2}\ }}{{\left(3\pi-2\cdot \frac{3\pi}{2}\right)}^2}=\frac{7-7}{0^2}=\frac{0}{0}.$

Избавимся от полученной неопределенности, вычислив предел от частного производных числителя и знаменателя:

${\mathop{\lim }_{x\to \frac{3\pi}{2}} \frac{7+7{\sin x\ }}{{\left(3\pi-2x\right)}^2}\ }=\frac{0}{0}={\mathop{\lim }_{x\to \frac{3\pi }{2}} \frac{-{{\rm 7cos} x\ }}{2\left(3\pi-2x\right)\left(-2\right)}\ }={\mathop{\lim }_{x\to \frac{3\pi }{2}} \frac{7{\cos x\ }}{4\left(3\pi-2x\right)}\ }=$

$={\mathop{\lim }_{x\to \frac{3\pi }{2}} \frac{7{\cos x\ }}{12\pi-8x}\ }=\frac{0}{0}.$

Получили снова неопределенность $\frac{0}{0}$ . Можем применить правило Лопиталя еще раз:

${\mathop{\lim }_{x\to \frac{3\pi}{2}} \frac{7{\cos x\ }}{4\left(3\pi-2x\right)}\ }=\frac{0}{0}={\mathop{\lim }_{x\to \frac{3\pi}{2}} \frac{-7{\sin x\ }}{-8}\ }=-\frac{7}{8}.$

Обратим внимание, что когда применяете правило Лопиталя не один раз, то нужно каждый раз проверять раскрылась ли неопределенность. В противном случае получится неправильный результат.

Вычислить пределы используя правило Лопиталя

Пожалуйста, зарегистрируйтесь или войдите, чтобы добавить ответ.