Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Свойства пределов функции

Основные свойства пределов с примерами

Ниже подробно описаны свойства пределов, которые помогут вам решать задачи с даже самыми сложными пределами функций и последовательностей!

1. Предел суммы двух функций равен сумме пределов от каждой из функций-слагаемых:

    \[ \underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,\left[ f\left( x \right)+g\left( x \right) \right]=\underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)+\underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,g\left( x \right)\]

Замечание. Данное свойство распространяется и на большее число слагаемых:

    \[\underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,\left[ {{f}_{1}}\left( x \right)+{{f}_{2}}\left( x \right)+...+{{f}_{n}}\left( x \right) \right]=\underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,{{f}_{1}}\left( x \right)+\underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,{{f}_{2}}\left( x \right)+...+\underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,{{f}_{n}}\left( x \right)\]

ПРИМЕР
Задание Найти \underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\left( {{x}^{2}}+x \right)
Решение Согласно свойству, предел суммы двух функций равен сумме пределов от каждой из них:

    \[\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\left( {{x}^{2}}+x \right)=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,{{x}^{2}}+\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,x={{1}^{2}}+1=2\]

Ответ \underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\left( {{x}^{2}}+x \right)=2

2. Предел константы равен самой этой константе:

    \[ \underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,C=C=\text{const}\]

ПРИМЕР
Задание Найти \underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,{{e}^{2}}
Решение Так как выражение {{e}^{2}}, стоящее под знаком предела, не зависит от переменной x, по которой он находится, то оно является константой. А тогда, согласно свойству, имеем:

    \[\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,{{e}^{2}}={{e}^{2}}\]

Ответ \underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,{{e}^{2}}={{e}^{2}}

3. Константу можно выносить за знак предела:

    \[ \underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,Cf\left( x \right)=C\underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right),\ C=\text{const}\]

ПРИМЕР
Задание Вычислить предел \underset{x\to -1}{\mathop{\lim }}\,3{{x}^{2}}
Решение Согласно свойствам пределов, константу можно выносить за знак предела, тогда

    \[\underset{x\to -1}{\mathop{\lim }}\,3{{x}^{2}}=3\cdot \underset{x\to -1}{\mathop{\lim }}\,{{x}^{2}}=3\cdot {{\left( -1 \right)}^{2}}=3\cdot 2=3\]

Ответ \underset{x\to -1}{\mathop{\lim }}\,3{{x}^{2}}=3

4. Предел произведения двух функций равен произведению пределов этих функций при условии, что последние существуют:

    \[ \underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)\cdot g\left( x \right)=\underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)\cdot \underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,g\left( x \right)\]

Замечание. Данное свойство выполняется и для большего числа множителей:

    \[\underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,\left[ {{f}_{1}}\left( x \right)\cdot {{f}_{2}}\left( x \right)\cdot ...\cdot {{f}_{n}}\left( x \right) \right]=\underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,{{f}_{1}}\left( x \right)\cdot \underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,{{f}_{2}}\left( x \right)\cdot ...\cdot \underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,{{f}_{n}}\left( x \right)\]

ПРИМЕР
Задание Найти значение предела \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left( x+1 \right)\sin x
Решение Предел произведения равен произведению пределов, то есть

    \[\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left( x+1 \right)\sin x=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left( x+1 \right)\cdot \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\sin x=\left( 0+1 \right)\cdot \sin 0=1\cdot 0=0\]

Ответ \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left( x+1 \right)\sin x=0

5. Предел частного двух функций равен отношению пределов этих функций при условии, что предел знаменателя не равен нулю:

    \[ \underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)}=\frac{\underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)}{\underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,g\left( x \right)},\ \underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,g\left( x \right)\ne 0\]

ПРИМЕР
Задание Вычислить

    \[ \underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{x+1}{x+2} \]

Решение Предел отношения двух функция равен отношению их пределов:

    \[\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{x+1}{x+2}=\frac{\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\left( x+1 \right)}{\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\left( x+2 \right)}=\frac{2+1}{2+2}=\frac{3}{4}\]

Ответ

6. Знак предела можно вносить в степень:

    \[ \underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,{{\left[ f\left( x \right) \right]}^{p}}={{\left[ \underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right) \right]}^{p}},\ p\in R\]

Замечание. Также имеет место равенство

    \[\underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,\sqrt[p]{f\left( x \right)}=\sqrt[p]{\underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)}\]

ПРИМЕР
Задание Найти предел

    \[ \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,{{\left( \frac{x+1}{x+2} \right)}^{2}} \]

Решение Внесем предел под степень:

    \[\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,{{\left( \frac{x+1}{x+2} \right)}^{2}}=\text{ }{{\left( \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{x+1}{x+2} \right)}^{2}}={{\left( \frac{0+1}{0+2} \right)}^{2}}={{\left( \frac{1}{2} \right)}^{2}}=\frac{1}{4}\]

Ответ

7. Предел можно вносить в степень показательной функции:

    \[ \underset{x\to b}{\mathop{\lim }}\,{{a}^{f\left( x \right)}}={{a}^{\underset{x\to b}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)}},\ a>0\]

ПРИМЕР
Задание Найти предел \underset{x\to -1}{\mathop{\lim }}\,{{3}^{2x+1}}
Решение Заносим предел в степень показательной функции:

    \[\underset{x\to -1}{\mathop{\lim }}\,{{3}^{2x+1}}={{3}^{\underset{x\to -1}{\mathop{\lim }}\,\left( 2x+1 \right)}}={{3}^{2\cdot \left( -1 \right)+1}}={{3}^{-2+1}}={{3}^{-1}}=\frac{1}{3}\]

Ответ \underset{x\to -1}{\mathop{\lim }}\,{{3}^{2x+1}}=\frac{1}{3}

8. Предел можно вносить в подлогарифмическую функцию:

    \[ \underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,{{\log }_{b}}f\left( x \right)={{\log }_{b}}\left[ \underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right) \right],\ b>0,\ b\ne 1\]

ПРИМЕР
Задание Найти \underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,{{\log }_{2}}\left( x+1 \right)
Решение Поменяем предел и логарифм местами:

    \[\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,{{\log }_{2}}\left( x+1 \right)={{\log }_{2}}\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\left( x+1 \right)={{\log }_{2}}\left( 1+1 \right)={{\log }_{2}}2=1\]

Ответ \underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,{{\log }_{2}}\left( x+1 \right)=1

9. Теорема про двухстороннее ограничение («Теорема про двух милиционеров»)

ТЕОРЕМА
Пусть для функций f\left( x \right),\ g\left( x \right),\ h\left( x \right) имеет место неравенство f\left( x \right)\le g\left( x \right)\le h\left( x \right) для всех x близких к a, за исключением, быть может, самой точки x=a. Тогда, если

    \[\underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,h\left( x \right)=A\]

то и

    \[\underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,g\left( x \right)=A\]

ПРИМЕР
Задание Вычислить предел

    \[ \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{3x+\cos x}{2x-7} \]

Решение Для косинуса имеет место оценка:

    \[-1\le \cos x\le 1,\ \forall x\]

Тогда

    \[3x-1\le 3x+\cos x\le 3x+1\]

Разделим все части полученного неравенства на 2x-7>0, получим:

    \[\frac{3x-1}{2x-7}\le \frac{3x+\cos x}{2x-7}\le \frac{3x+1}{2x-7}\]

Переходим во всех частях неравенства к пределу при x\to +\infty (то есть выполняем предельный переход), будем иметь:

    \[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{3x-1}{2x-7}\le \frac{3x+\cos x}{2x-7}\le \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{3x+1}{2x-7}\]

Найдем значение пределов, стоящих в левой и правой частях последнего неравенства:

    \[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{3x-1}{2x-7}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{x\left( 3-\frac{1}{x} \right)}{x\left( 2-\frac{7}{x} \right)}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{3-\frac{1}{x}}{2-\frac{7}{x}}=\frac{3-0}{2-0}=\frac{3}{2}\]

    \[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{3x+1}{2x-7}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{x\left( 3+\frac{1}{x} \right)}{x\left( 2-\frac{7}{x} \right)}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{3+\frac{1}{x}}{2-\frac{7}{x}}=\frac{3+0}{2-0}=\frac{3}{2}\]

Тогда, согласно теореме о двухстороннем ограничении, делаем вывод, что и искомый предел

    \[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{3x+\cos x}{2x-7}=\frac{3}{2}\]

Ответ

10. Одна и та же функция в одной и той же точке может иметь только один предел:

    \[ \underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)={{a}_{1}}\wedge \underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)={{a}_{2}}\Rightarrow {{a}_{1}}={{a}_{2}}\]