Вычислить пределы функции не пользуясь правилом Лопиталя

DWQA Questions › Вычислить пределы функции не пользуясь правилом Лопиталя

0 +1 -1

Asya Админ. спросил 7 лет назад

Здравствуйте!
Помогите! Очень нужно!
Вычислить пределы функции, не пользуясь правилом Лопиталя:
1) ${\mathop{\lim }_{x\to \infty } \frac{18x^7-13x^4+19}{12x^7+12x^4+15}\ }$ ;
2) ${\mathop{\lim }_{x\to 19} \frac{x-19}{\sqrt{19x}-19}\ }$ ;
3) ${\mathop{\lim }_{x\to 0} 15x\cdot ctg\ 13x\ }$ .
Спасибо!

1 ответ

0 +1 -1

Asix Админ. ответил 7 лет назад

Пример.
Вычислить пределы функции, не пользуясь правилом Лопиталя:
1) ${\mathop{\lim }_{x\to \infty } \frac{18x^7-13x^4+19}{12x^7+12x^4+15}\ }$ ;
2) ${\mathop{\lim }_{x\to 19} \frac{x-19}{\sqrt{19x}-19}\ }$ ;
3) ${\mathop{\lim }_{x\to 0} 15x\cdot ctg\ 13x\ }$ .

Решение.
1)
Если подставить вместо х значение, к которому оно стремится (то есть бесконечность), то получим неопределенность $\frac{\infty }{\infty }$ :

${\mathop{\lim }_{x\to \infty } \frac{18x^7-13x^4+19}{12x^7+12x^4+15}\ }=\frac{\infty }{\infty }.$

Избавимся от полученной неопределенности вынесением за скобки переменной в старшей степени для числителя и для знаменателя:

${\mathop{\lim }_{x\to \infty } \frac{18x^7-13x^4+19}{12x^7+12x^4+15}\ }={\mathop{\lim }_{x\to \infty } \frac{x^7\left(18-\frac{13x^4}{x^7}+\frac{19}{x^7}\right)}{x^7\left(12+\frac{12x^4}{x^7}+\frac{15}{x^7}\right)}\ }={\mathop{\lim }_{x\to \infty } \frac{18-\frac{13x^4}{x^7}+\frac{19}{x^7}}{12+\frac{12x^4}{x^7}+\frac{15}{x^7}}\ }=$

$=\frac{{\mathop{\lim }_{x\to \infty } 18\ }-{\mathop{\lim }_{x\to \infty } \frac{13}{x^3}\ }+{\mathop{\lim }_{x\to \infty } \frac{19}{x^7}\ }}{{\mathop{\lim }_{x\to \infty } 12\ }+{\mathop{\lim }_{x\to \infty } \frac{12}{x^3}\ }+{\mathop{\lim }_{x\to \infty } \frac{15}{x^7}\ }}=\frac{18}{12}=\frac{3}{2}.$

2)
Если подставить вместо х значение, к которому оно стремится (то есть 2), то получим неопределенность $\frac{0}{0}$ :

${\mathop{\lim }_{x\to 19} \frac{x-19}{\sqrt{19x}-19}\ }=\frac{0}{0}.$

Избавимся от неопределенности умножением числителя и знаменателя дроби на сопряженное выражение к знаменателю дроби:

${\mathop{\lim }_{x\to 19} \frac{x-19}{\sqrt{19x}-19}\ }={\mathop{\lim }_{x\to 19} \frac{\left(x-19\right)\left(\sqrt{19x}+19\right)}{\left(\sqrt{19x}-19\right)\left(\sqrt{19x}+19\right)}\ }=$

$={\mathop{\lim }_{x\to 19} \frac{\left(x-19\right)\left(\sqrt{19x}+19\right)}{19x-361}\ }={\mathop{\lim }_{x\to 19} \frac{\left(x-19\right)\left(\sqrt{19x}+19\right)}{19\left(x-19\right)}\ }=$

${=\mathop{\lim }_{x\to 19} \frac{\left(\sqrt{19x}+19\right)}{19}\ }=\frac{38}{19}=2.$

3)
Для решения этого предела выполним замену $ctg\ 13x=\frac{{\cos 13x\ }}{{\sin 13x\ }}$ .
Подставим в начальное выражение:

${\mathop{\lim }_{x\to 0} 15x\cdot ctg\ 13x\ }={\mathop{\lim }_{x\to 0} 15x\cdot \frac{{\cos 13x\ }}{{\sin 13x\ }}\ }.$

Воспользуемся формулой первого замечательного предела и получим:

${\mathop{\lim }_{x\to 0} 15x\cdot ctg\ 13x\ }={\mathop{\lim }_{x\to 0} 15x\cdot \frac{{\cos 13x\ }}{{\sin 13x\ }}\ }={\mathop{\lim }_{x\to 0} 15\cdot \frac{{\cos 13x\ }}{13x}\ }=$

$=\frac{15}{13}{\mathop{\lim }_{x\to 0} {\cos 13x\ }\ }=\frac{15}{13}.$

Вычислить пределы функции не пользуясь правилом Лопиталя

Пожалуйста, зарегистрируйтесь или войдите, чтобы добавить ответ.