Вычислить предел функции

DWQA Questions › Вычислить предел функции

0 +1 -1

Asya Админ. спросил 7 лет назад

Здравствуйте!

Нужно вычислить предел функции ${\mathop{\lim }_{x\to \infty } \frac{13x^2+18x-19}{11x^3+17x+11}\ }$ и ${\mathop{\lim }_{x\to 0} \frac{\sqrt{121+12x+13x^2}-11}{x}\ }$ . И вообще — как это делается? Помогите!
Спасибо!

1 ответ

0 +1 -1

Asix Админ. ответил 7 лет назад

Вычисление предела функции начинается с подстановки вместо неизвестного в функцию того значения, к которому неизвестное стремится. В некоторых случаях эти операции дают определенный результат и на этом решение заканчивается. Но бывают случаи, когда в результате подстановки получают неопределенность. Тогда нужно использовать свойства пределов, основные формулы, правила и методы.

Пример 1.
Вычислим предел:

${\mathop{\lim }_{x\to \infty } \frac{13x^2+18x-19}{11x^3+17x+11}\ }.$

Решение.

${\mathop{\lim }_{x\to \infty } \frac{13x^2+18x-19}{11x^3+17x+11}\ }=\left(\frac{\infty }{\infty }\right)$

Мы получили неопределенность типа $\left(\frac{\infty }{\infty }\right)$ . В таком случае один из способов решения этого предела может быть деление числителя и знаменателя на неизвестное в наибольшем степени, т.е. на $x^3$ :

${\mathop{\lim }_{x\to \infty } \frac{13x^2+18x-19}{11x^3+17x+11}\ }=\left(\frac{\infty }{\infty }\right)={\mathop{\lim }_{x\to \infty } \frac{\frac{13x^2}{x^3}+\frac{18x}{x^3}-\frac{19}{x^3}}{\frac{11x^3}{x^3}+\frac{17x}{x^3}+\frac{11}{x^3}}\ }={\mathop{\lim }_{x\to \infty } \frac{\frac{13}{x}+\frac{18}{x^2}-\frac{19}{x^3}}{11+\frac{17}{x^2}+\frac{11}{x^3}}\ }=$

Теперь снова в полученное выражение подставим вместо неизвестного значение, к которому оно стремится, и получим:

$=\frac{0+0-0}{11+0+0}=0.$

Решение окончено.

Ответ. ${\mathop{\lim }_{x\to \infty } \frac{13x^2+18x-19}{11x^3+17x+11}\ }=0$ .

Пример 2.
Вычислим предел:

${\mathop{\lim }_{x\to 0} \frac{\sqrt{121+12x+13x^2}-11}{x}\ }.$

Решение.

${\mathop{\lim }_{x\to 0} \frac{\sqrt{121+12x+13x^2}-11}{x}\ }=\left(\frac{0}{0}\right)$

Мы получили неопределенность типа $\left(\frac{0}{0}\right)$ . В таком случае этот предел можно решить с помощью умножения числителя и знаменателя дроби на сопряженное выражение к числителю, т.е. на $\left(\sqrt{121+12x+13x^2}+11\right)$ :

${\mathop{\lim }_{x\to 0} \frac{\sqrt{121+12x+13x^2}-11}{x}\ }=\left(\frac{0}{0}\right)=$

$={\mathop{\lim }_{x\to 0} \frac{\left(\sqrt{121+12x+13x^2}-11\right)\cdot \left(\sqrt{121+12x+13x^2}+11\right)}{x\cdot \left(\sqrt{121+12x+13x^2}+11\right)}\ }=$

Откроем скобки и приведем подобные:

$={\mathop{\lim }_{x\to 0} \frac{121+12x+13x^2-121}{x\cdot \left(\sqrt{121+12x+13x^2}+11\right)}\ }={\mathop{\lim }_{x\to 0} \frac{12x+13x^2}{x\cdot \left(\sqrt{121+12x+13x^2}+11\right)}=\ }$

$={\mathop{\lim }_{x\to 0} \frac{12+13x}{\sqrt{121+12x+13x^2}+11}=\ }$

На этом этапе подставим значение 0 вместо х:

$=\frac{12+0}{\sqrt{121+0+0}+11}=\frac{12}{22}=\frac{6}{11}.$

Ответ. $\frac{12+13x}{\sqrt{121+12x+13x^2}+11}=\frac{6}{11}$ .

Вычислить предел функции

Пожалуйста, зарегистрируйтесь или войдите, чтобы добавить ответ.