Вычислить определенный интеграл

DWQA Questions › Вычислить определенный интеграл

0 +1 -1

Asya Админ. спросил 7 лет назад

Здравствуйте!
Необходимо разобраться как можно вычислить определенный интеграл. Очень нужна помощь!
Спасибо!

1 ответ

0 +1 -1

Asix Админ. ответил 7 лет назад

Вычислить определенный интеграл можно с помощью формулы Ньютона-Лейбница, согласно которой вычисляется сначала неопределенный интеграл, а затем в первообразную подставляется верхняя граница интегрирования, а от нее отнимается первообразная от нижней границы интегрирования.
Рассмотрим пример.

Пример 1.
Вычислим определенный интеграл

$\int^{13}_0{17\sqrt[7]{x}dx}.$

Решение.
Сначала вычислим неопределенный интеграл:

$\int{17\sqrt[7]{x}dx}=17\int{\sqrt[7]{x}dx}=17\int{x^{\frac{1}{7}}dx}=17\cdot \frac{x^{\frac{8}{7}}}{\frac{8}{7}}+C=$

$=17\cdot \frac{7}{8}x\sqrt[7]{x}+C=\frac{119}{8}x\sqrt[7]{x}+C.$

Теперь можно к первообразной $\frac{119}{8}x\sqrt[7]{x}$ применить формулу Ньютона-Лейбница, при этом полагая С=0:

$\int^{13}_0{17\sqrt[7]{x}dx}={\left.\frac{119}{8}x\sqrt[7]{x}\right|}^{13}_0=\frac{119}{8}\left(13\cdot \sqrt[7]{13}-0\cdot \sqrt[7]{0}\right)=$

$=\frac{119}{8}\cdot 13\sqrt[7]{13}=\frac{1547}{8}\sqrt[7]{13}=193\frac{3}{8}\sqrt[7]{13}.$

Ответ. $\int^{13}_0{17\sqrt[7]{x}dx}=193\frac{3}{8}\sqrt[7]{13}$ .

При вычислении определенного интеграла огромную помощь предоставляет знание его свойств:

Если определенный интеграл имеет одинаковые верхний и нижний предел интегрирования, то он будет равен нулю.
В определенном интеграле можно выполнять замену обозначения переменной интегрирования, от которой он не зависит.
Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла, что существенно упрощает расчеты.
Определенный интеграл от суммы некоторых функций можно разбить на сумму отдельных интегралов от этих функций.
Для определенного интеграла можно менять местами верхнюю и нижнюю границы интегрирования местами, при этом изменится только знак интеграла на противоположный.

Вычислить определенный интеграл

Пожалуйста, зарегистрируйтесь или войдите, чтобы добавить ответ.