Вычислить интеграл

DWQA Questions › Вычислить интеграл

0 +1 -1

Asya Админ. спросил 7 лет назад

Здравствуйте!
Задали решить:
«Вычислить интегралы $\int^7_0{13x^2}dx$ и $\int^{13}_{-11}{\left(17+19x-13x^2\right)}dx$ ».
Спасибо!

1 ответ

0 +1 -1

Asix Админ. ответил 7 лет назад

Пример 1.
Вычислим интеграл:

$\int^7_0{13x^2}dx.$

Решение:

$\int^7_0{13x^2}dx=$

Вынесем постоянную (число 13) за знак интеграла:

$=13\int^7_0{x^2}dx=$

Проинтегрируем подынтегральную функцию $x^2$ :

${\left.=13\frac{x^3}{3}\right|}^7_0=$

При интегрировании появилась постоянная $\frac{1}{3}$ , которую отделим от переменной $x^3$ :

${\left.=\frac{13}{3}x^3\right|}^7_0=$

Воспользовавшись формулой Ньютона-Лейбница, подставим вместо х сначала значение верхнего предела, а затем вычтем из него выражение, подставив в него значение нижнего предела:

$=\frac{13}{3}\left(7^3-0^3\right)=$

Выполнив вычисления, получим ответ:

$\frac{13}{3}\cdot 343=\frac{4459}{3}=1486\frac{1}{3}.$

Ответ. $\int^7_0{13x^2}dx=1486\frac{1}{3}$ .

Пример 2.
Вычислим интеграл:

$\int^{13}_{-11}{\left(17+19x-13x^2\right)}dx.$

Решение.

$\int^{13}_{-11}{\left(17+19x-13x^2\right)}dx=$

Согласно свойству линейности интеграла разделим его на сумму интегралов и сразу же вынесем постоянные за его знак:

$=17\int^{13}_{-11}{dx}+19\int^{13}_{-11}{x}dx-13\int^{13}_{-11}{x^2}dx=$

Для всех трех слагаемых воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница:

${\left.17x\right|}^{13}_{-11}+19{\left.\frac{x^2}{2}\right|}^{13}_{-11}-13{\left.\frac{x^3}{3}\right|}^{13}_{-11}=$

$={\left.17x\right|}^{13}_{-11}+\frac{19}{2}{\left.x^2\right|}^7_{-11}-\frac{13}{3}{\left.x^3\right|}^{13}_{-11}=$

$=17\left(13-\left(-11\right)\right)+\frac{19}{2}\left({13}^2-{\left(-11\right)}^2\right)-\frac{13}{3}\left({13}^3-{\left(-11\right)}^3\right)=$

$=17\cdot 24+\frac{19}{2}\cdot \left(169-121\right)-\frac{13}{3}\left(2197+1331\right)=$

$=408+\frac{19}{2}\cdot 48-\frac{13}{3}\cdot 3528=408+456-15288=-14424.$

Ответ. $\int^{13}_{-11}{\left(17+19x-13x^2\right)}dx=-14424$ .

При приобретении небольшого опыта обычно так подобные решения не расписывают. Многие действия выполняются в уме и записываются только ключевые моменты.

Вычислить интеграл

Пожалуйста, зарегистрируйтесь или войдите, чтобы добавить ответ.