В треугольнике ABC угол С равен 90

DWQA Questions › В треугольнике ABC угол С равен 90

0 +1 -1

Asya Админ. спросил 7 лет назад

Здравствуйте!
Помогите решить 2 задачи:
В треугольнике АВС угол С равен 90 градусов, катет АС = 4,8 см, синус прилежащего к нему угла равен $\frac{7}{25}$ . Найдем гипотенузу АВ.
В треугольнике АВС угол С равен 90 градусов, катет АС = 2 см, синус прилежащего к нему угла равен $\frac{1}{\sqrt{17}}$ . Найдем второй катет ВС.
Спасибо!

1 ответ

0 +1 -1

Asix Админ. ответил 7 лет назад

Задача 1.
В треугольнике АВС угол С равен 90 градусов, катет АС = 4,8 см, синус прилежащего к нему угла равен $\frac{7}{25}$ . Найдем гипотенузу АВ.

Решение.
Воспользуемся определением косинуса острого угла в прямоугольном треугольнике:

${\cos A\ }=\frac{AC}{AB}.$

Выразим из соотношения искомую гипотенузу АВ:

$AB=\frac{AC}{{\cos A\ }}.$

Используем тригонометрическое тождество и перейдем от косинуса к синусу:
$AB=\frac{AC}{{\cos A\ }}=\frac{AC}{\sqrt{1-{\left({\sin A\ }\right)}^2}}=\frac{4,8}{\sqrt{1-\frac{49}{625}}}=\frac{4,8}{\sqrt{\frac{576}{625}}}=\frac{4,8\cdot 25}{24}=5$ (см).

Ответ. АВ = 5 см.

Задача 2.
В треугольнике АВС угол С равен 90 градусов, катет АС = 2 см, синус прилежащего к нему угла равен $\frac{1}{\sqrt{17}}$ . Найдем второй катет ВС.

Решение.
Поскольку известен один катет, а найти нужно другой, то воспользуемся определением тангенса угла:

$tg\ A=\frac{BC}{AC}.$

Выразим из формулы искомый катет ВС:

$BC=AC\cdot tg\ A.$

Запишем тангенс через синус и косинус:

$BC=AC\cdot tg\ A=AC\cdot \frac{{\sin A\ }}{{\cos A\ }}.$

Перейдем от косинуса к синусу, для чего используем тригонометрическое тождество:

$BC=AC\cdot tg\ A=AC\cdot \frac{{\sin A\ }}{{\cos A\ }}=AC\cdot \frac{{\sin A\ }}{\sqrt{1-{\left({\sin A\ }\right)}^2}}=2\cdot \frac{\frac{1}{\sqrt{17}}}{\sqrt{1-{\left(\frac{1}{\sqrt{17}}\right)}^2}}=$

$=2\cdot \frac{1}{\sqrt{17}\cdot \sqrt{1-\frac{1}{17}}}=\frac{2}{\sqrt{17}\cdot \sqrt{\frac{16}{17}}}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$ (см).

Ответ. $BC=\frac{1}{2}$ (см).

Все подобные задачи, в которых заданы любые две стороны прямоугольного треугольника и угол (а чаще всего его синус, косинус или тангенс) решаются с помощью определений этих тригонометрических функций и тригонометрического тождества.

В треугольнике ABC угол С равен 90

Пожалуйста, зарегистрируйтесь или войдите, чтобы добавить ответ.