В треугольнике ABC О точка пересечения медиан

DWQA Questions › В треугольнике ABC О точка пересечения медиан

0 +1 -1

Asya Админ. спросил 7 лет назад

Здравствуйте!
Помогите! Попалась задача:
В треугольнике ABC O – точка пересечения медиан. Выразим вектор AO через векторы AB и AC.
Как решать?
Спасибо!

1 ответ

0 +1 -1

Asix Админ. ответил 7 лет назад

Задача.
В треугольнике ABC O — точка пересечения медиан. Выразим вектор AO через векторы AB и AC.

Решение.
Построим треугольник АВС и проведем три медианы в нем. Обозначим точку их пересечения точкой О.
Рассмотрим медиану AS.
Используя свойства векторов, запишем равенство (по правилу треугольника):

$\overrightarrow{AS}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CS};$

$\overrightarrow{AS}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BS}.$

Сложим эти два уравнения почленно:

$2\cdot \overrightarrow{AS}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CS}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BS}.$

Рассмотрим векторы $\overrightarrow{CS}$ и $\overrightarrow{BS}$ . Они равны по длине (по модулю) и разные по направлению, поэтому $\overrightarrow{CS}+\overrightarrow{BS}=0$ .
Перепишем равенство, полученное при сложении:

$2\cdot \overrightarrow{AS}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CS}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BS};$

$2\cdot \overrightarrow{AS}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}.$

Найдем вектора $\overrightarrow{AS}$ :

$\overrightarrow{AS}=\frac{\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}}{2}.$

По свойству медиан треугольника точкой пересечения они делятся на части, которые находятся в отношении 2 к 1, начиная от вершины треугольника. Запишем:

$\overrightarrow{AO}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AS};$

$\overrightarrow{AO}=\frac{2}{3}\cdot \frac{\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}}{2};$

$\overrightarrow{AO}=\frac{\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}}{3}.$

Ответ. $\overrightarrow{AO}=\frac{\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}}{3}$ .

При решении упоминалось правило треугольника.
Напомню его суть на конкретном примере.

Сумма векторов OL и LM равна третьему вектору ОМ, который получается следующим образом:
из произвольной точки О нужно построить вектор OL заданной длины;
из конца построенного вектора — точки L, нужно построить вектор LM, также заданной длины. Вектор ОМ и будет суммой векторов OL и LM.
Это правило приобрело название «правила треугольника».

В треугольнике ABC О точка пересечения медиан

Пожалуйста, зарегистрируйтесь или войдите, чтобы добавить ответ.