В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 2

DWQA Questions › В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 2

0 +1 -1

Asya Админ. спросил 6 лет назад

Здравствуйте!
Помогите решить задачу:
В правильной четырёхугольной пирамиде высота равна 2 см, а длина бокового ребра равна 5 см. Найти объём пирамиды.
Спасибо!

1 ответ

0 +1 -1

Asix Админ. ответил 6 лет назад

Задача.
В правильной четырёхугольной пирамиде высота равна 2 см, а длина бокового ребра равна 5 см. Найти объём пирамиды.

Решение.
Построим правильную четырехугольную пирамиду, в основании которой лежит правильный четырехугольник, то есть квадрат.

Запишем формулу для вычисления объема пирамиды, чтобы понимать, какие данные необходимо для нее использовать:

$V_{SABCD}=\frac{1}{3}\cdot S_{ABCD}\cdot SO$

Из условия известно, что высота пирамиды равна 2 см, следовательно, SO = 2 см.
Из условия также известна длина бокового ребра 5 см. У правильной пирамиды все длины боковых ребер равны, поэтому SA = SB = SC = SD = 5 см.
Для нахождения объема необходимо вычислить площадь основания, то есть площадь квадрата ABCD. Площадь любого квадрата равна квадрату его стороны. Чтобы найти сторону квадрата ABCD, рассмотрим треугольник SOA. Он является прямоугольным, так как его сторона SO перпендикулярна стороне АО как высота пирамиды. Нам известны длины сторон AS и SO. Найдем длину стороны АО по теореме Пифагора:

${AS}^2={SO}^2+{AO}^2$

$5^2=2^2+{AO}^2$

$25=4+{AO}^2$

${AO}^2=25-4$

${AO}^2=21$

$AO=\sqrt{21}$

Отрезок АО является половиной диагонали квадрата ABCD.
Рассмотрим треугольник АОВ. Он является прямоугольным, так как по свойству диагоналей квадрата, они пересекаются под прямым углом. Также треугольник АОВ является равнобедренным, так как АО = ОВ как половины диагоналей квадрата, которые у квадрата равны.
Используем теорему Пифагора и вычислим длину стороны АВ квадрата:

${AB}^2={AO}^2+{BO}^2$

${AB}^2={\left(\sqrt{21}\right)}^2+{\left(\sqrt{21}\right)}^2$

${AB}^2=21+21$

${AB}^2=42$

$AB=\sqrt{42}$

Сторона квадрата известна, теперь можно вычислить площадь этого квадрата:
$S_{ABCD}={AB}^2={\left(\sqrt{42}\right)}^2=42$ (кв. см).
Подставим вычисленные данные в формулу объема пирамиды:
$V_{SABCD}=\frac{1}{3}\cdot S_{ABCD}\cdot SO=\frac{1}{3}\cdot 42\cdot 2=14\cdot 2=28$ (куб. см).

Ответ. 28 куб. см.

В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 2

Пожалуйста, зарегистрируйтесь или войдите, чтобы добавить ответ.