Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Свойства пирамиды

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Пирамидой называется многогранник, в основании которого лежит многоугольник, а остальные грани – треугольники, имеющие общую вершину, называемую вершиной пирамиды.

В зависимости от того, какой многоугольник лежит в основании, пирамиды бывают треугольные, четырехугольные и т.д.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Пирамида, основанием которой является правильный многоугольник, а вершина проектируется в центр основания, называется правильной пирамидой.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Высотой пирамиды называется отрезок, опущенный из вершины пирамиды перпендикулярно основанию: SO – высота: SO\bot (ABC).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Апофемой правильной пирамиды называется высота боковой грани: SK\bot AC,\ SK– апофема.

Свойства пирамиды

  1. Около основания пирамиды можно описать окружность, если боковые ребра имеют одинаковую длину, при этом вершина пирамиды будет проецироваться в центр этой окружности. Боковые ребра образуют с плоскостью основания одинаковые углы.
  2. Если боковые грани одинаково наклонены к плоскости основания, то около основания пирамиды можно описать окружность, при этом вершина пирамиды будет проецироваться в центр этой окружности, а также высоты боковых граней имеют равную длину.
  3. Площадь боковой поверхности равняется половине произведения периметра основания на высоту боковой грани

        \[S_{side}=\frac{1}{2}P\cdot l\]

  4. Объем пирамиды равен одной третьей произведения площади основания на высоту пирамиды

        \[V=\frac{1}{3}S_{\text{basic}}\cdot H\]

Свойства правильной пирамиды

  1. Боковые ребра правильной пирамиды равны между собой.
  2. Боковые грани правильной пирамиды равны между собой и являются равнобедренными треугольниками.
  3. Апофемы правильной пирамиды равны.
  4. В любую правильную пирамиду можно как вписать, так и описать около неё сферу.
  5. Все боковые грани образуют с плоскостью основания правильной пирамиды равные углы.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Найти объем правильной четырехугольной пирамиды со стороной основания 3 см и высотой 5 см.
Решение Рассмотрим пирамиду SABCD. В основании пирамиды лежит правильный четырехугольник ABCD – квадрат со стороной AB=3 см. Площадь квадрата: S=AB^{2}=9 см. Высота пирамиды SO=5 см. Объем пирамиды вычисляется по формуле:

    \[V=\frac{1}{3}S_{\text{basic}}\cdot H=\frac{1}{3}AB^{2}\cdot SO=15\ cm^{2}\]

Ответ V=15 см ^{2}
ПРИМЕР 2
Задание Апофема правильной треугольной пирамиды равна 8 см, а двугранный угол при основании равен 30°. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
Решение Площадь боковой поверхности равняется половине произведения периметра основания на апофему:

    \[S_{\text{side}}=\frac{1}{2}P\cdot l\]

По условию задачи апофема известна, осталось найти периметр основания. Двугранный угол между боковой гранью и основанием – это угол между апофемой высотами SK и высотой основания BK. Так как пирамида правильная, то основание ее высоты SO находится в центре вписанной окружности. Рассмотрим прямоугольный треугольник SOK:

    \[OK=KS\cdot \cos 30^{\circ}=8\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}\ cm\]

Найденный отрезок OK является радиусом вписанной окружности, который связан со стороной треугольника следующим соотношением OK=\frac{AB\sqrt{3}}{6}, откуда

    \[AB=\frac{6OK}{\sqrt{3}}=\frac{6\cdot 4\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=24\ cm\]

Найдем периметр основания:

    \[P=3AB=3\cdot 24=72\ cm\]

Площадь боковой поверхности пирамиды равна

    \[S_{\text{side}}=\frac{1}{2}P\cdot l=\frac{1}{2}\cdot 72\cdot 8=288\ cm^{2}\]

Ответ S_{\text{side}}=288 см ^{2}
Нужна помощь с
решением задач?
Более 500 авторов онлайн и готовы помочь тебе прямо сейчас! Цена от 20 рублей за задачу. Сейчас у нас проходит акция, мы дарим 100 руб на первый заказ.