Свойства пирамиды
В зависимости от того, какой многоугольник лежит в основании, пирамиды бывают треугольные, четырехугольные и т.д.
Свойства пирамиды
- Около основания пирамиды можно описать окружность, если боковые ребра имеют одинаковую длину, при этом вершина пирамиды будет проецироваться в центр этой окружности. Боковые ребра образуют с плоскостью основания одинаковые углы.
- Если боковые грани одинаково наклонены к плоскости основания, то около основания пирамиды можно описать окружность, при этом вершина пирамиды будет проецироваться в центр этой окружности, а также высоты боковых граней имеют равную длину.
- Площадь боковой поверхности равняется половине произведения периметра основания на высоту боковой грани
- Объем пирамиды равен одной третьей произведения площади основания на высоту пирамиды
Свойства правильной пирамиды
- Боковые ребра правильной пирамиды равны между собой.
- Боковые грани правильной пирамиды равны между собой и являются равнобедренными треугольниками.
- Апофемы правильной пирамиды равны.
- В любую правильную пирамиду можно как вписать, так и описать около неё сферу.
- Все боковые грани образуют с плоскостью основания правильной пирамиды равные углы.
Примеры решения задач
Задание | Найти объем правильной четырехугольной пирамиды со стороной основания см и высотой см.
|
Решение | Рассмотрим пирамиду . В основании пирамиды лежит правильный четырехугольник – квадрат со стороной см. Площадь квадрата: см. Высота пирамиды см. Объем пирамиды вычисляется по формуле:
|
Ответ | см |
Задание | Апофема правильной треугольной пирамиды равна 8 см, а двугранный угол при основании равен 30°. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды. |
Решение | Площадь боковой поверхности равняется половине произведения периметра основания на апофему:
По условию задачи апофема известна, осталось найти периметр основания. Двугранный угол между боковой гранью и основанием – это угол между апофемой высотами и высотой основания . Так как пирамида правильная, то основание ее высоты находится в центре вписанной окружности. Рассмотрим прямоугольный треугольник :
Найденный отрезок является радиусом вписанной окружности, который связан со стороной треугольника следующим соотношением , откуда
Найдем периметр основания:
Площадь боковой поверхности пирамиды равна
|
Ответ | см |