Составить уравнение касательной

DWQA Questions › Составить уравнение касательной

0 +1 -1

Asya Админ. спросил 7 лет назад

Здравствуйте! Помогите, пожалуйста, решить два задания:

Составить уравнение касательной к графику функции $y=13x^3-17x+23$ в точке А(3; 323).
Составить уравнения всех касательных к графику функции $y=-11x^2-13x+17$ , которые проходят через точку .

Пожалуйста, очень нужно! На зачет!

1 ответ

0 +1 -1

Asix Админ. ответил 7 лет назад

При составлении уравнения касательной к графику функции будем использовать следующий алгоритм ее составления:

Обозначим абсциссу точки касания через букву a.
Вычислим значение функции от а.
Найдем производную функции и найдем ее значение от а.
Подставим в общее уравнение касательной найденные значения:

$y=f\left(a\right)+f'\left(a\right)\left(x-a\right).$

Задача 1.
Составить уравнение касательной к графику функции $y=13x^3-17x+23$ в точке А(3; 323).

Решение.
Точка А(3; 323) – точка касания. Это легко проверить, подставив ее координаты в заданную функцию:

$y\left(3\right)=13{\cdot 3}^3-17\cdot 3+23=323.$

Составим уравнение касательной:

a=3 – абсцисса точки касания.
$2. f\left(3\right)=323.$

$3. f^{'}\left(x\right)=39x^2-17;$

$f^{'}\left(3\right)=39\cdot 3^2-17=334.$

$y=323+334\left(x-3\right)=323+334x-1002=334x-679.$

Ответ. Уравнение касательной $y=334x-679$ .

Задача 2.
Составить уравнения всех касательных к графику функции $y=-11x^2-13x+17$ , которые проходят через точку $A(3; 17)$ .

Решение.
Точка $A(3; 17)$ не является точкой касания, т.к. $y(3)=-11\cdot3^2-13\cdot3+17$ .

Обозначим абсциссу точки касания буквой а.
$y(a)=-11a^2-13a+17$ .
$y'(x)=-22x-13$ , $y'(a)=-22a-13$ .
$y=-11a^2-13a+17+(-22a-13)(x-a)$ ;

$y=11a^2-(22a+13)x+17$ – уравнение касательной.
Поскольку касательная проходит через точку A(3; 17), значит, координаты этой точки однозначно удовлетворяют уравнению касательной:

$17=11a^2-3(22a+13)+17;$

$11a^2-66a-39=0;$

$D=(-66)^2-4\cdot11\cdot(-39)=6072\approx78^2;$

$a_{1}=\frac{66-78}{22}\approx0,5;$

$a_{1}=\frac{66+78}{22}\approx6,5.$

При a=0,5 уравнение касательной имеет вид y=19,75–24x.
При a=6,5 уравнение касательной имеет вид y=481,75–156x.

Ответ. Касательные к графику функции , которые будут проходить через точку А(3; 17): y=19,75–24x и y=481,75–156x.

Составить уравнение касательной

Пожалуйста, зарегистрируйтесь или войдите, чтобы добавить ответ.