Случайная величина x задана функцией распределения

DWQA Questions › Случайная величина x задана функцией распределения

0 +1 -1

Asya Админ. спросил 7 лет назад

Здравствуйте!
Кто знает как решать?!
Случайная величина задана интегральной функцией распределения $F\left(x\right)=\left\{ \begin{array}{c} 0,\ \ x<-\frac{17}{13}, \\ \frac{x+11}{12},\ -\frac{17}{13}\le x\le \frac{17}{13}, \\ 11,\ \ x>\frac{17}{13}. \end{array} \right.$ .
Найти:
а) дифференциальную функцию f(x) (плотность распределения вероятности);
б) вероятность попадания случайной величины в интервал (0, 13);
в) математическое ожидание и дисперсию.
Помогите!
Спасибо!

1 ответ

0 +1 -1

Asix Админ. ответил 7 лет назад

$F\left(x\right)=\left\{ \begin{array}{c} 0,\ \ x<-\frac{17}{13}, \\ \frac{x+11}{12},\ -\frac{17}{13}\le x\le \frac{17}{13}, \\ 11,\ \ x>\frac{17}{13}. \end{array} \right.$

Решение.
Рассчитаем дифференциальную функцию f(x).
Плотность распределения вероятности равна производной от F(x):
$f(x<-\frac{17}{13})=0^{'}=0$ ;
$f(-\frac{17}{13}\le x\le \frac{17}{13})=\ {\left(\frac{x+11}{12}\right)}^{'}=\frac{1}{12}$ ;
$f(x>\frac{17}{13})=11^{'}=0$ .
Запишем полученную плотность распределения:

$f\left(x\right)=\left\{ \begin{array}{c} 0,\ \ x<-\frac{17}{13}, \\ \frac{1}{12},\ -\frac{17}{13}\le x\le \frac{17}{13}, \\ 0,\ \ x>\frac{17}{13}. \end{array} \right.$

Рассчитаем вероятность попадания в интервал (0; 13).
Для этого необходимо записать определенный интеграл от плотности распределения на указанном отрезке и вычислить его. Полученное значение и будет искомой вероятностью:

$P=\int^{13}_0{f\left(x\right)dx}=\int^{\frac{17}{13}}_0{\frac{x+11}{12}dx}+\int^{13}_{\frac{17}{13}}{0\cdot dx}={\left.\frac{1}{12}\left(\frac{x^2}{2}+11x\right)\right|}^{\frac{17}{13}}_0=$

$=\frac{1}{12}\left(\frac{{\left(\frac{17}{13}\right)}^2}{2}+11\cdot \frac{17}{13}\right)=\frac{1}{12}\left(\frac{289}{169\cdot 2}+\frac{187}{13}\right)=\frac{1}{4}\cdot \frac{1717}{338}=\frac{1717}{1352}$

Рассчитаем математическое ожидание.
Математическое ожидание будем находить согласно определению, воспользовавшись соответственной формулой:

$M\left(X\right)=\int^{-\frac{17}{13}}_{-\infty }{0\cdot xdx}+\int^{\frac{17}{13}}_{-\frac{17}{13}}{\frac{1}{12}\cdot xdx}+\int^{\infty }_{\frac{17}{13}}{0\cdot xdx}=$

$={\left.\frac{1}{12}\cdot \frac{x^2}{2}\right|}^{\frac{17}{13}}_{-\frac{17}{13}}={\left.\frac{x^2}{24}\right|}^{\frac{17}{13}}_{-\frac{17}{13}}=\frac{{\left(\frac{17}{13}\right)}^2}{24}-\frac{{\left(-\frac{17}{13}\right)}^2}{24}=\frac{289}{169\cdot 24}-\frac{289}{169\cdot 24}=0.$

Находим дисперсию.
Дисперсия равна математическому ожиданию от квадрата ее отклонения:

$D\left(X\right)=\int^{\frac{17}{13}}_{-\frac{17}{13}}{\frac{1}{12}\cdot x^2dx}-0={\left.\frac{1}{12}\cdot \frac{x^3}{3}\right|}^{\frac{17}{13}}_{-\frac{17}{13}}={\left.\frac{x^3}{36}\right|}^{\frac{17}{13}}_{-\frac{17}{13}}=$

$=\frac{{\left(\frac{17}{13}\right)}^3}{36}-\frac{{\left(-\frac{17}{13}\right)}^3}{36}=\frac{289}{2197\cdot 36}+\frac{289}{2197\cdot 36}=\frac{289}{21975\cdot 18}=\frac{289}{395550}.$

Ответ. Дифференциальная функция $f\left(x\right)=\left\{ \begin{array}{c} 0,\ \ x<-\frac{17}{13}, \\ \frac{1}{12},\ -\frac{17}{13}\le x\le \frac{17}{13}, \\ 0,\ \ x>\frac{17}{13};; \end{array} \right.$
вероятность попадания в интервал (0, 13) равна $P=\frac{1717}{1352}$ ;
математическое ожидание $M\left(X\right)=0;$
дисперсия $D\left(X\right)=\frac{289}{395550}$ .

Случайная величина x задана функцией распределения

Пожалуйста, зарегистрируйтесь или войдите, чтобы добавить ответ.